Relatório de Seminário Equações Diferenciais de Runge-Kutta

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Equações Diferenciais Ordinárias (EDO):

Equações que derivadas de uma ou mais variáveis dependentes, em relação a uma ou mais variáveis independentes, é chamada de EQUAÇÃO DIFERENCIAL. Se uma equação contém somente derivadas ordinárias de uma ou mais variáveis dependentes, sendo relacionada com uma única variável dependente, chamamos esta de equação diferencial ordinária (EDO), agora se uma equação envolve derivadas parciais de uma ou mais variáveis dependentes, chamamos de equação diferencial parcial (EDP).

Uma EDO de ordem n pode ser expressa da seguinte forma:

[pic 2]

A solução de uma EDO é uma função que satisfaz á equação diferencial e que também satisfaz a certas condições inicias na função. Ao resolver uma EDO, analiticamente, encontra-se uma solução geral contendo constantes arbitrárias e, então, determinam-se essas constantes de modo que a expressão combine as condições iniciais.

Traremos neste trabalho a resolução de equações diferenciais de segunda e quarta ordem pelo método de Runge - Kutta.

2.0- Objetivos

2.1 -Objetivo Geral:

O referido trabalho buscou a analise detalhada do método de Runge-Kutta para a resolução de EDO, voltado aos PVI's.

2.2 - ObjetivosEspecíficos:

(I) - Levantar as vantagens e desvantagens do método;

(II) - Desenvolver um algoritmo em Python para o tema citado acima;

(III) - Abordar algumas aplicações de equações diferenciais;

3.0 - Fundamentações Teóricas.

Seja uma expansão da solução exata y(x), em série de Taylor, em torno do valor inicial x0.

y(x0 + h) = y(x0) + hy'(x0) + (x0) + y” (x0) +...[pic 3][pic 4]

Truncando a série após o termo de derivada primeira, sendo x1 = x0 + h e y1 uma aproximação de y(x1) e sabendo que y' = f(x,y), tem-se

y1 = y0 + hf(x0 + y0).

As Sucessivas aproximação yide y(xi) podem, então, ser obtidas pela fórmula de recorrência.

yi + 1 = yi+ hf(xi + yi),

Que é conhecida como método de Euler.

Tal método trás a ideia de uma reta tangente a uma curva ser usada para aproximar os valores de uma função em uma dada vizinhança no seu ponto tangente, entretanto o método de Euler possui um nível de precisão baixo, pois para que se tenha uma precisão de apenas 6 casas decimais seria necessário um elevado número de interações (cerca de um milhão).

Outros métodos também podem ser usados como o método de Taylor, porém o processo é cansativo e demorado, pois necessita de vários cálculos de derivadas. A fim de resolver tal problema temos o método desenvolvido por Runge e Kutta.

3.1 - Descrição do Método de Runge-Kutta.

O método de Runge-Kutta proporciona a mesma precisão que o de Taylor, porém não necessita dos elevados números de derivadas. Em vez de calcular as derivadas, esse método simula o efeito das derivadas de ordem superior determinando o valor de f várias vezes entre tk e tk+1.

É fácil notar que o método é baseado apenas em passos simples, quando a aproximação yi+1 for calculada a partir do valor yi do passo anterior. Sendo a função incremento, um método de passo simples é definido da seguinte forma:[pic 5]

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Diminuindo assim o esforço computacional que outros métodos requerem.

Assim, os chamados métodos explícitos de estágios apresentam a forma geral :

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Sendo a, b e c constantes definidas para cada método particular. Usualmente, essas constantes são exibidas na notação de Butcher. Temos que o método de Runge-Kutta é classificado de acordo com sua ordem.

3.2 - Métodos de Segunda Ordem.

Sendo a expansão da Série de Taylor, onde as derivadas em são escritas em termos , a partir de ,[pic 13][pic 14][pic 15]

[pic 16]

Como

[pic 17]

Logo, simplificando a notação de modo que , sendo e , teremos que:[pic 18][pic 19][pic 20]

[pic 21]

De outra forma, pode ser escrita em termos de e ,[pic 22][pic 23]

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Expandindo , em série de Taylor, em termos de e retendo somente os termos[pic 25][pic 26]

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e substituindo na equação anterior

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Fazendo um rearranjo teremos

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Comparando (1) e (2), teremos um sistema não linear com três equações e quatro incógnitas, a partir do qual é possível gerar diversos métodos de segunda ordem.

[pic 30]

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Um exemplo do método de Runge-Kutta de segunda ordem é o chamado método de Euler modificado, cujas constantes são mostradas na tabela a seguir.

Tabela. Constantes do Método de Euler Modificado.

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