A EQUAÇÃO DE BERNOULLI APLICADA PARA TRANSPORTE DE ÁGUA EM UM CONDUTO

...

Sabendo-se que e dividindo os termos por , tem-se

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No caso de escoamento incompressível, o primeiro termo se torna uma equação diferencial exata e a sua integração resulta em

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em que v é a velocidade, p é a pressão, g é a gravidade, z é a altura e C é uma constante de integração. A Eq. (9) é a conhecida equação de Bernoulli. Portanto, pode-se realizar a solução do problema citado.

Numa indústria de fabricação de cerveja, deseja-se analisar a dinâmica de fluido em um conduto circular que é responsável pelo transporte de água para um tanque de misturas. A massa específica da água transportada é de , na qual entra no conduto a um fluxo de . Considera-se que a secção de entrada, A, de diâmetro está numa altura zero, no solo (o resto anterior do sistema bombeia a água para o conduto). A secção de saída, B, possui diâmetro . As pressões nestas secções A e B são respectivamente iguais a e . Logo, o objetivo do problema é determinar a altura da secção B para que suporte tais condições fornecidas. A Fig. (1) mostra uma ilustração de como seria o sistema de condutos que transportam água para tanque de misturas.

Figura 1. Ilustração dos condutos de transporte de água para tanques

Para a resolução do problema, primeiro fez-se a conversão das unidades de pressão. Como 1 atm equivale a 101325 Pa, a pressão na secção de entrada A equivale a 202650 Pa e 70927,5 Pa na secção B. Para determinar as velocidades nas secções utilizou-se a equação da continuidade onde o produto da área pela velocidade é o fluxo volumétrico, . Então para a velocidade nas secções aplica-se a Eq. (10):

(9)

Substituindo o fluxo e isolando v na Eq. (10), denotando a velocidade na secção A como vA,

De maneira análoga, encontra-se a velocidade na secção B igual a

A expressão que permite determinar a altura da secção B é a Eq. (9), a equação de Bernoulli, vista anteriormente. Logo, expressando-a em função das grandezas fornecidas. Como se trata de um problema de conservação de energia, aplica-se a igualdade para as duas secções, dada pela Eq. (11),

(10)

Como a altura da secção A é nula, pois a tubulação inicia do solo, a terceira parcela do lado esquerdo da igualdade é cancelada, sendo expressa na forma da Eq. (12),

(11)

Rearranjando a Eq. (12) para isolar a em termos das condições fornecidas, tem-se

(12)

Logo, aplicando as condições dentro da Eq. (13), obteve-se a altura da secção B em relação ao solo,

3. RESULTADOS E DISCUSSÃO

A partir da aplicação da equação de Bernoulli, determinou-se que altura do ponto B que é de . No entanto, deve-se ressaltar que no escoamento da água no conduto não há atrito nas proximidades das paredes do tubo. Ressalta-se também que o principal fator que contribuiu para este resultado é de que a pressão no alto do tubo corresponde somente a 65% da pressão que é exercida na secção de entrada A. Isto é, se a pressão na secção de saída B fosse maior, a altura seria relativamente mais baixa.

Se fosse elaborada uma função da altura h que depende da pressão na secção B como variável, se teria uma função linear decrescente, onde quanto maior fosse a pressão na secção, menor seria a altura. A Fig. (2) mostra o gráfico deste comportamento da altura em função da pressão na secção B.

Figura 2. Gráfico de Pressão × Altura

4. CONCLUSÃO

Por meio dos cálculos, verificou-se algumas das aplicações da equação de Bernoulli, e observou-se este na qual determinou-se a velocidade do fluido nos pontos A e B e obteve-se a altura mínima do ponto B para que a parede possa suportar a carga do conduto. Este processo, foi desenvolvido a partir do segmento de suas restrições. Desta forma, observou-se que para a validade da equação de Bernoulli deve atender critérios previamente determinados, caso contrário, os resultados obtidos podem ser equivocados ou podem apresentar erros. Ao aplicar tal equação algumas propriedades do fluido são levadas em consideração tais como pressão e massa específica.

Sabendo-se que esta equação é um caso particular da equação da energia e que atende a uma gama de problemas de fluidos, a má aplicação de suas restrições provoca inúmeros erros numéricos. Por outro lado, sua utilidade simplifica alguns cálculos e minimiza perdas de tempo uma vez que na maioria dos cálculos envolvendo fluidos, pode-se fazer aproximações quando algumas forças são desprezadas.