Flambagem de Colunas

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MAP= PL . sen ɵ Equação 2

Ou seja, para diferentes valores de P e de ɵ tem-se situações de equilíbrio distintas. Combinando-se as duas equações anteriores, os sistemas têm as seguintes condições para os equilíbrios estável, neutro e instável:

[pic 4]Equação3

Em Engenharia Civil, lidamos, apenas, com pequenas deformações, ou seja, θ tende a zero. E quando o ângulo ɵ é pequeno, sen ɵ = ɵ e a Equação 3 tem os seguintes desdobramentos:

[pic 5]

Equação4

Onde:

Pcr = Ҡɵ / L Equação5

A carga que define a transição entre o equilíbrio estável e o equilíbrio instável é a chamada carga crítica Pcr . A perda de estabilidade do equilíbrio é chamada de flambagem, de modo que também chamamos Pcr de carga crítica de flambagem.

Para ilustrar adequadamente a relação entre a carga aplicada e a estabilidade do sistema estrutural, observemos o diagrama de equilíbrio apresentado na Figura abaixo. Trata-se de um gráfico de carga P versus o ângulo de deflexão ɵ. O ponto B, onde o diagrama de equilíbrio se divide, é chamado de ponto de bifurcação. Exatamente no ponto B, onde P = Pcr , o equilíbrio do elemento é neutro.

Na configuração vertical, ou seja, ɵ=0, representada pela linha tracejada, obtém-se uma situação de equilíbrio instável acima do ponto B, e uma situação estável abaixo dele. Configurações alternativas de equilíbrio estável ocorrem ao longo das curvas BC e BC´, com ɵ ≠ 0.

[pic 6]

2.FÓRMULA DE EULER PARA COLUNAS COM EXTREMIDADES ARTICULADAS

No exemplo da Figura- Barra submetida á compressão, observou-se o comportamento de uma barra rígida associada a uma mola de torção quando submetida à compressão. Em casos reais, as colunas possuem uma flexibilidade atribuída ao material e não respondem como o exemplo citado acima. Para nos aproximarmos da realidade, analisemos através da figura abaixo uma coluna ideal com pinos em suas extremidades.

[pic 7]

Para a simplificação do modelo, algumas hipóteses são consideradas:

- Inicialmente, a coluna é perfeitamente reta.

- O material que a compõe tem comportamento linear elástico.

- Os pinos das extremidades passam pelo centroide da seção transversal.

- A coluna tem liberdade para girar pelos pinos sem que haja fricção, assim, as restrições desses apoios são equivalentes àquelas de uma viga bi apoiados.

- A coluna é simétrica em relação ao plano xy e qualquer deflexão lateral da coluna ocorrerá neste plano.

- A coluna recebe uma força axial compressiva P aplicada através do pino superior.

2.1 CONFIGURAÇÃO FLAMBADA

Analisando os valores atribuídos a essa carga:

P Pcr Equilíbrio estável: a coluna permanecerá reta e seu comprimento será reduzido. A tensão axial é uniforme e regida pela equação: σ = P/A.

P = Pcr Equilíbrio neutro .

Para determinar da carga crítica Pcr e a configuração da coluna flambada, deve-se determinar o valor da carga P quando a coluna estiver ligeiramente fletida e em condição de equilíbrio.

2.2 EQUILÍBRIO DE COLUNAS FLAMBADAS

Analisando o diagrama de corpo livre da Figura – Coluna ideal, obtém-se:

[pic 8]

Como ∑ MA=0, tem-se:

M (x) = - P . v(x) Equação6

Em vigas submetidas à flexão, o momento de curvatura é definido pela equação M(x) = EI v’’ , onde v’’ = d²v / dx²

Substituindo-se na equação acima o M(x) da Equação 6, tem-se:

EIv’’ = - P . v(x)

EIv’’(x) + Pv(x)=0 Equação7

Está é a equação diferencial que governa a deformada de uma coluna com extremidades em pino. Trata-se de uma equação diferencial ordinária, homogênea, linear e de segunda ordem.

As condições de contorno para um elemento vinculado por pinos são:

v (0) = 0 e v(L) =0 Equação8

A presença do termo v(x) na Equação 7 significa que não se pode integrar duas vezes a equação para se obter a solução. De fato, apenas quando DE for constante, existirá uma solução simples para esta equação. Sendo assim, a Equação 7 é uma equação diferencial ordinária com coeficientes constantes.

A Equação 7 pode ser reescrita dividindo-se todos os termos por DE:

¹M(x) considerado positivo quando há compressão nas fibras na direção positiva de y.

v’’(x) + Pv(x) / EI = 0 Equação9

Adotando-se λ² = P/ EI, tem-se:

v’’(x)+λ²v(x)= 0 Equação10

A solução geral desta equação homogênea é:

v(x) = C1 senλ(x) + C2 cosλ(x) Equação11

Deseja-se encontrar um valor para λ e conhecer as constantes de integração C1 e C2, tal que as duas condições de contorno apresentadas na Equação 8 sejam satisfeitas.

[pic 9]

Obviamente que, se C1 = C2 = 0, a deflexão v(x) será zero em todos os pontos e apenas obtém-se a configuração retilínea original.

Como se deseja uma configuração de equilíbrio alternativa Figura - Coluna Ideal (b) deve-se encontrar um valor de λ que satisfaça a equação com C1 ≠ 0 , ou seja, λ deve satisfazer a equação característica:

[pic 10]

Como λ² = P / EI , tem-se:

Pn = n²EI / L² Equação12[pic