ATIVIDADES PRÁTICAS SUPERVISIONADAS: Equações Diferenciais e Séries

...

sistema deve igualar a massa vezes a aceleração:

[pic 3]

ou seja,

f − FM − FK − FB = [pic 4]

Formalmente:

f(t) – Mg – Ky(t) – B = (1)[pic 5][pic 6]

+ + = - g+ f(t) (2)[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Vamos definir o estado do

sistema como x(t), sendo este dado por:

= (3)[pic 11][pic 12]

Procedendo à mudança de variável, substituímos x(t) no lugar de

y(t) e dy(t)/dt em (1) – (2), obtendo:

= = (4)[pic 17][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16]

As equações acima nos levam a:

= [pic 18][pic 19]

= (5)[pic 20]

Separando as influências do estado e externas, o sistema (5)

assume a forma:

=[pic 21][pic 22]

y = [pic 23][pic 24]

onde u = f (t) é a entrada (força externa), x(t) é o estado e

y = x1(t) é a saída (posição).

- Sistemas de massas acopladas

[pic 25]

Fig. 2 – Sistema de duas massas acopladas

Hipóteses

A força exercida pela “mola” é nula quando os blocos estão

separados de uma distância y, FK = 0.

A força exercida pelo “amortecedor” é nula se a variação de

velocidade da massa M1 em relação `a M2 ´e nula, FB = 0.

Aplicando a 2a lei de Newton, a soma das forças aplicadas em

cada massa iguala a massa vezes a aceleração.

Aplicando a 2a lei de Newton:

M1y”1(t) = Fk + FB

= K [y2 (t) – y1 (t) - ∆y] + B [y’2 (t) – y’ (t)]

M2y”2 (t) = f (t) – Fk – FB

= f (t) - K [y2 (t) – y1 (t) - ∆y] - B [y’2 (t) – y’ (t)]

Deixando o vetor x(t) definir as variáveis de estado como:

[pic 26]

Podemos representar o sistema EDO de segunda ordem (22) como

um sistema EDO de primeira ordem, x’ = Ax + Bu, com o estado

dado pelo vetor x.

[pic 27]

Com u(t) = f (t).

Passo 2 – Revisar os conteúdos sobre diferencial de uma função e sobre técnicas de integração de funções de uma variável.

Passo 3 – Estudar o método de resolução de equações diferenciais lineares de variáveis separáveis e de primeira ordem.

Exemplo 1

1-Disponível em: Equacões diferenciais ordinárias/Eduardo Camponogara:

http://user.das.ufsc.br/~camponog/Disciplinas/DAS-5103/Slides/l23-ode-intro.pdf. Acesso em: 06/09/2015.