INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA MÉDIAS E PROPORÇÃO

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REGRA GERAL:

- U se sempre a expressão: [pic 35] = [pic 36] , para calcular o desvio padrão de [pic 37] para:

- A população seja infinita;

- A população seja finita e o tamanho da amostra seja menor que a igual a 5% do tamanho da população, isto é, n/N ≤ 0,05.

- Use sempre a expressão [pic 38] = [pic 39][pic 40], para calcular o desvio padrão de [pic 41] para n/N > 0,05.

OBS.: Quando σ ( desvio padrão da população) for desconhecido, o erro padrão da média pode ser estimado usando-se o desvio padrão da amostra como um estimador do desvio padrão da população:

Ou seja: [pic 42] = [pic 43]

- Quando inclui o fator de correção:

[pic 44] = [pic 45][pic 46]

Exemplos:

- Suponha que a média de uma população bastante grande seja μ = 50 e o desvio padrão σ = 12. Determinamos a distribuição de amostragem das médias das amostras de tamanho n = 36, em termos de valor esperado e de erro padrão da distribuição, da seguinte forma:

[pic 47] = [pic 48] = [pic 49] = 2

- Um auditor toma uma amostra aleatória de tamanho n = 16 de um conjunto de N = 100 contas a receber. Não se conhece o desvio padrão dos valores das 100 contas a receber. Contudo, o desvio padrão da amostra é s = $57,00. Determinamos o valor do erro padrão da distribuição de amostragem da média da seguinte forma:

[pic 50] = [pic 51][pic 52] = [pic 53][pic 54] = $13,13

TEOREMA DO LIMITE CENTRAL

- Um teorema em estatística que conduz ao uso do desvio padrão da média é o TEOREMA DO LIMITE CENTRAL para n ≥ 30 ⇒ à medida que se aumenta o tamanho da amostra, a distribuição de amostragem da média se aproxima da forma da distribuição normal, qualquer que seja a forma da distribuição da população.

Onde z, neste caso fica:

z = [pic 55]

Onde z = nível de confiança = desvio padrão. Em geral, nas ciências sociais, usamos um nível de confiança de 95% de confiança como um padrão arbitrariamente aceitável.

Os valores de z são tabelados.

Para 95%, z = 1,96. Significa 1,96 desvios padrões da média, ou seja, 95% de probabilidade de que a média da população caia dentro de ± 1,96 desvios padrões da média.

O ponto importante nesta discussão é que, à medida que se aumenta o tamanho da amostra, o desvio padrão da média diminui. Como resultado, tamanhos maiores de amostra fornecerão uma maior probabilidade de que a média da amostra esteja dentro de uma distância específica da média da população.

[pic 56]

[pic 57]

Exemplo:

- Um auditor toma uma amostra de n = 36 de uma população de 1000 contas a receber. O desvio padrão da população é desconhecido, mas o desvio padrão da amostra é s = $43,00. Se o verdadeiro valor da média da população de contas a receber é μ = $260,00, qual a probabilidade de que a média da amostra seja menor ou igual a 250,00?

E(X) = μ = 260 (dado)

[pic 58] = [pic 59] = [pic 60] = 7,17

s é usado como estimador de σ;

fator de correção finita não é necessário, pois 36

z = [pic 61] = [pic 62] = -1,39

Portanto: P ([pic 63]≤ 250 ) ⏐ μ = 260; [pic 64] = 7,17 = P(z ≤ -1,39) = 0,5 – P (-1,39 ≤ z ≤ 0)

= 0,5 – 0,4177 = 0,0823.

INTERVALO DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA, UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

Intervalo de confiança dá um intervalo de valores, centrado na estatística amostral, no qual julgamos, com um risco conhecido de erro, estar o parâmetro da população.

Nosso intervalo de confiança tem a forma: [pic 65] ± z[pic 66]

- Para n ≥ 30 com Desvio Padrão Populacional Conhecido

μ = [pic 67] ± z[pic 68]

- Para n ≥ 30 com Desvio Padrão Populacional Desconhecido

μ = [pic 69] ± z[pic 70]

- Para n com Desvio Padrão Populacional Conhecido

μ = [pic 71] ± z[pic 72]

- Para n com Desvio Padrão Populacional Desconhecido - Distribuição t de Student

μ = [pic 73] ± tgl [pic 74]

Exemplos:

- Para uma dada semana, foi tomada uma amostra aleatória de 30 empregados horistas selecionados de um grande número de empregados de uma fábrica, qual apresentou um salário médio de [pic 75] = $180,00 com um desvio padrão de amostra de s = $14,00. Estimamos o salário médio para todos os empregados horistas da fábrica de tal maneira que tenhamos uma confiança de 95% de que o intervalo estimado inclua a média da população da seguinte forma:

[pic 76] ± 1,96. [pic 77] = 180 ± 1,96 (2,56) = 174,98 a 185,02

Onde: [pic 78] = $180,00 (dado)

[pic 79] = [pic 80] = [pic 81] = 2,56

INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA A PROPORÇÃO, UTILIZANDO A DISTRIBUIÇÃO NORMAL

- Distribuição de probabilidade aplicável a proporções é a distribuição de probabilidade binomial (acarreta cálculos extenuantes). A maioria utiliza a distribuição normal como aproximação da binomial para a construção de intervalos de confiança para as proporções.

- A aproximação é apropriada quando n ≥ 30 tanto np ≥ 5 como n(1 – p) ≥ 5.

- A variância da distribuição de proporções serve de base para o erro padrão.