A Aproximação Normal da Distribuição Binomial

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dessa população seja extraída uma amostra aleatória simples com reposição. Essas n extrações correspondem a n variáveis aleatórias de Bernoulli independentes e, como visto, tem distribuição binomial com parâmetros n e p. Note que Sn dá o número total de “sucessos” nas n repetições, onde “sucesso”, neste caso, representa a presença da característica de interesse. Os valores possíveis de Sn são 0,1,2,...,n.Com relação à proporção de elementos na amostra que possuem a característica de interesse, temos que[pic 12][pic 13][pic 14]

(1)[pic 15]

e os valores possíveis de são 0, 1/n, 2/n, …, (n-1)/n, 1 com[pic 16]

(2)[pic 17]

Analisando a expressão (1), podemos ver que nada mais é que a média amostral de[pic 18]

Xi ∼Be(p), i=1,..., n.

Logo, o teorema de limite central se aplica com E(X) = p e V(X) = p(1−p),ou seja:

E() = p[pic 19]

V()= p(1−p) /n[pic 20]

Vemos, então, que a proporção amostral é um estimador não-viesado da proporção populacional p. A distribuição exata é dada pela expressão (2). Como a proporção amostral é uma média de uma amostra aleatória simples de uma população com distribuição de Bernoulli com parâmetro p, o Teorema Limite Central nos diz, então, que a distribuição da proporção amostral se aproxima de uma normal com média p e variância p(1−p)/n . Como essa aproximação é uma consequência directa da aproximação normal da binomial, as mesmas regras continuam valendo: a aproximação deve ser feita se np ≥ 5 e n(1−p ) ≥ 5.

Exemplo: De um lote de produtos manufacturados, extrai-se uma amostra aleatória simples de 100 itens. Se 10% dos itens do lote são defeituosos, calcule a probabilidade de serem sorteados no máximo 12 itens defeituosos.

Solução: As condições para utilização da aproximação normal são válidas: com n = 100 e p =0,1 temos que

100×0,1 = 10 > 5

100×0,9=9 > 5

Seja X = “número de itens defeituosos na amostra”. Então, X∼B(100;0,1) e X ≈ N(10;9). Queremos calcular P(X ≤ 12). Usando a correção de continuidade e denotando por Y uma v.a. N(10;9), temos que

P(X ≤ 12) ≈P(Y ≤12,5)

= P( ) = P( Z ≤0,83) =0 ,79673[pic 21]

O valor exato é P(X ≤12) = 0,802.

Exercícios

A confiabilidade de um componente é a probabilidade de que ele funcione sob as condições desejadas. Uma amostra aleatória simples de 1000 desses componentes é extraída e cada componente testado. Calcule a probabilidade de obtermos pelo menos 30 itens defeituosos supondo que a confiabilidade do item seja

a) 0,995 b) 0,85

Resumo

Estudamos dois resultados básicos sobre a distribuição binomial; o primeiro envolve a aproximação normal e o segundo, a distribuição amostral de proporções amostrais. No final, você deve compreender os seguintes resultados.

- Se X ∼ B(n;p), então probabilidades desta variável podem ser aproximadas pelas probabilidades da distribuição N[np;np(1−p)], desde que sejam satisfeitas as seguintes condições: np ≥ 5 e n(1−p) ≥ 5

- Seja uma população descrita pela variável aleatória X ∼Be(p). Então, P(X = 1) = p, P(X = 0) = 1−p, E(X)=p e Var(X)=p(1−p). Seja uma aas desta população. Definindo a proporção amostral[pic 22]

resulta que[pic 23]

[pic 24]

e essa aproximação pode ser usada se np≥5 e n(1−p)≥5.

Exercícios

1. Use a aproximação normal para calcular as probabilidades pedidas, tendo o cuidado de verificar que as condições para essa aproximação são realmente satisfeitas.

(a) P(X ≤25) se X∼B(50;0,7) (b) P(42 ∼B(100;0,5) (c) P(X>60) se X ∼B(100;0,5)

(d) P(X = 5) se X ∼B(20;0,4) (e) P(X ≥12) se X ∼B(30;0,3) (f) P(9 ∼B(80;0,1)

(g) P(12 ≤X ≤16) se X ∼B(30;0,2) (h) P(X>18) se X ∼B(50;0,3) (i) P(X = 6) se X ∼B(28;0,2)

(j) P(30 ≤X∼B(95;0,4)

2. Numa sondagem, perguntou-se a 1002 membros de determinado sindicato se eles haviam votado na última eleição para a direcção do sindicato e 701 responderam afirmativamente. Os registros oficiais obtidos depois da eleição mostram que 61% dos membros aptos a votar de fato votaram. Calcule a probabilidade de que, dentre 1002 membros selecionados aleatoriamente, no mínimo 701 tenham votado, considerando que a verdadeira taxa de votantes seja de 61%. O que o resultado sugere?

3. Supondo que meninos e meninas sejam igualmente prováveis, qual é a probabilidade de nascerem mais que 36 meninas em 64 partos? Em geral, um resultado é considerado não-usual se a sua probabilidade de ocorrência é pequena, digamos, menor que 0,05. É não-usual nascerem mais que 36 meninas em 64 partos?

4. Com base em dados históricos, uma companhia aérea estima em 15% a taxa de