Eoria de Markowitz com a aplicação da distribuição normal sobre a análise de investimentos

...

Utilizando a formula de transformação, qualquer variável aleatória normal X é convertida em uma variável normalmente padronizada Z.

[pic 3]

Onde:

σ é o desvio padrão

µ é a média aritmética

Exemplo:

Qual a probabilidade de um fundo de renda variável que tem retorno esperado de 20% ao mês e desvio padrão de 25% ao mês de vir dar um retorno negativo?

Resolução:

Utilizando a formula teremos:

Z = 0-20 / 25 = -0,80

Outro conceito importante a respeito da distribuição normal é que ela serve de aproximação para o cálculo de outras distribuições quando o número de observações fica grande. Essas importantes propriedades provem do Teorema Central do Limite que diz que “toda soma de variáveis aleatórias independentes de média finita e variância limitada é aproximadamente Normal, desde que o número de termos da soma seja suficientemente grande”. (PORTAL ESTATISTICA GERAL, 2009. Online).

Markowitz, em 1956, apresentou um modelo para ativos de renda variável em que ele mostra que os retornos produzidos por esses ativos podem ser aproximados por uma distribuição normal cuja média é a média dos retornos passados obtidos e cujo desvio padrão é o desvio padrão desses retornos. (FGV. Online).

Exemplo:

Considerando a tabela da normal padronizada (Anexo 2). Qual a probabilidade de o retorno da ação ser inferior a 1,13% ao mês?

Resolução: Na linha procuramos 1,1 e na coluna 3, 0. O valor obtido é 0,8708. A probabilidade de o retorno dessa ação ser menor que 1,13% ao mês será de 87,08%.

Vamos a outro exemplo complementar ao anterior:

Qual a probabilidade de o retorno da ação vir a ser maior que 1,13% ao mês?

Resolução: É adquirida através de uma subtração, podendo ser 1 – 0,8708 = 0,1292 ou 12,92%.

2.2 Cálculos de probabilidades de investimentos na distribuição normal

Para demonstrar como a probabilidade pode ser uma ferramenta de auxílio para tomada de decisão no momento da análise de um investimento, darei outro exemplo:

A empresa LPJ está avaliando duas propostas alternativas de investimentos (A e B). Os retornos possíveis dos fluxos de caixa de cada proposta foram analisados e, baseando-se em dados estatísticos disponíveis e estudos de mercados dos produtos que serão gerados em cada projeto, associou-se a cada possível taxa de retorno dos projetos determinado grau de probabilidade de ocorrência. Dessas previsões, resultaram os seguintes valores:

Projeto A

Projeto B

Probabilidade (p) Retorno (r)

Probabilidade (p) Retorno (r)

0,30 0,10

0,10 0,06

0,20 0,09

0,10 0,08

0,30 0,13

0,40 0,09

0,20 0,12

0,40 0,12

Determinação do Retorno Esperado E (r)

E (r) = Σ p x r

Projeto A

E (r) = 0,30 x 0,10 + 0,20 x 0,09 + 0,30 x 0,13 + 0,20 x 0,12

= 0,03 + 0,018 + 0,039 + 0,024 = 0,111 ou 11,1%

Projeto B

E (r) = 0,10 x 0,06 + 0,10 x 0,08 + 0,40 x 0,09 + 0,40 x 0,12

= 0,006 + 0,008 + 0,036 + 0,048 = 0,098 ou 9,8%

Determinação do Risco ou Desvio Padrão (DP)

DP = [pic 4]

DP[pic 5]

Onde:

DP = risco ou desvio padrão

p = probabilidade

r = retorno observado

E (r) = retorno esperado

Projeto A - E (r) = 0,111 ou 11,1%

r

[ r - E (r) ]

[ r - E (r) ][pic 6]

p

[ r - E (r)][pic 7]x p

0,10

-0,011

0,000121

0,30

0,000036

0,09

-0,021

0,000441

0,20

0,000088

0,13

0,019

0,000361

0,30

0,000108

0,12

0,009

0,000081

0,20

0,000016

Σ

1,00

0,000248

DP (risco) = [pic 8] 0,0157 ou 1,57%

Projeto B - E (r) = 0,098 ou 9,8%

R

[ r - E (r) ]

[ r - E (r) ] [pic 9]

p