Distribuição de probabilidade Binomial

...

[pic 5]

Onde,

P = probabilidade binomial

x = 0, 1, 2, 3, ..., n, número total de sucessos (passar ou não, cara ou coroa, etc.)

k = número de vezes que sucessos que se pede (fracassos é dado por n-k)

n = número de experimentos executados

p = valor da probabilidade do que se quer que aconteça, ou seja, probabilidade de sucesso

q = probabilidade de falhas (isto é, Q=1-P)

= combinação de n elementos divididos em k grupos pode ser desenvolvida fazendo-se: [pic 6][pic 7]

A distribuição binomial tem as seguintes propriedades:

- Média

Se p é distribuição de sucesso e q é a probabilidade de fracasso em um experimento binomial, em seguida, o número esperado de sucessos em n ensaios (ou seja, o valor médio da distribuição binomial) é:

[pic 8]

- Variância

A variância da distribuição binomial é:

[pic 9]

- Desvio Padrão

O desvio Padrão da distribuição é:

[pic 10]

- Aplicações Práticas

Depois de saber o que é distribuição binomial, aplique a fórmula de distribuição binomial para calcular a probabilidade nos exemplos abaixo:

1) Considere que a probabilidade de nascimento de homens e mulheres é igual. Determine a probabilidade de um casal com 3 filhos terem 2 homens e 1 mulher.

Solução:

Com base no enunciado da questão, temos que filhos. Sabendo que a probabilidade de nascimento de homens e mulheres é igual, então temos 50% de sucesso (de acontecer) e 50% de fracasso (de não acontecer).[pic 11]

Logo, [pic 12]

Depois de ter encontrado os valores para n, p e q, substituímos na fórmula:

[pic 13]

[pic 14]

[pic 15]

A probabilidade para o casal ter dois homens e uma mulher é de 37,5%

2) Um agricultor cultiva maçãs e também produz mudas para vender. Após alguns meses a muda pode ser atacada por fungos com probabilidade 0,05 e, nesse caso, ela tem probabilidade 0,10 de ser recuperável. O custo de cada muda produzida é R$ 1,50, que será acrescido de mais R$ 0,70 se precisar ser recuperada. As irrecuperáveis são descartadas. Sabendo que cada muda é vendida a R$ 4,50, encontre a distribuição da variável aleatória “lucro por muda produzida”.

Solução:

Para solucionar esta questão, primeiro calculamos a margem de lucro deste agricultor.

L: lucro por muda produzida

[pic 16]

L = [pic 17]

Para facilitar o entendimento, usaremos o diagrama de árvores de probabilidades, que será[pic 18]

Sendo assim, a distribuição da variável aleatória de “lucro por muda produzida” é dada por:

L

-1,50

2,30

3,00

P(L=l)

0,04

0,04

0,95

- Qual é o lucro médio por muda produzida?

Solução:

Com base no enunciado da questão e substituindo na fórmula para encontrar a média, temos:

[pic 19]

[pic 20]

Ou seja, o lucro médio obtido para cada muda produzida é de R$2,27.

- Numa plantação de 25000 mudas, qual é o lucro esperado?

Solução:

[pic 21]

Em uma plantação de 25000 mudas, o lucro esperado é R$56.750,00

- No lote de 50 mudas, qual é a probabilidade de que pelo menos

45 sejam aproveitáveis?

Solução:

Seja X o número de mudas aproveitáveis e p a probabilidade de uma muda, selecionada ao acaso, ser aproveitável; então a distribuição binomial terá parâmetros [pic 22]

,[pic 23]

ou seja, a variável aleatória X tem distribuição binomial com parâmetros e .[pic 24][pic 25]

Sendo assim, a probabilidade de que pelo menos