Matemática Financeira

...

n

M = C ( 1+i ) n

R$ 1.610,51 = 1.000,00 ( 1 + 10/100)

n

1.610,51 / 1000 = 1,10

n

1,10 = 1,61051

tomando o logaritmo natural (LN) de ambos os membros teremos:

n

LN (1,10) = LN(1,61051)

LN (1,61051)

n = [pic 5]

LN (1,1)

0,476551

n = n = 5 anos[pic 6]

0,09531

Utilizando a calculadora financeira HP 12-C, teremos:

10 i 1.610,51 CHS FV 1.000 PV n=> 5 anos

EXEMPLO 5 – Uma duplicata de R$ 6.000,00 foi descontada num banco à taxa de desconto comercial de 2% am, quatro meses antes do seu vencimento.

- Qual o valor líquido da duplicata?

- Qual a taxa mensal de juros compostos da operação?

- D = C . i . n

D = 6.000 x 2/100 x 4

D = R$ 480,00

R$ 6.000 – R$ 480 = R$ 5.520 => valor líquido da duplicata

b) n

M = C ( 1+i ) 4

R$ 6 000,00 = 5.520,00 ( 1 + i)

4

(1 + i) = 1,0870

1/4

(1 + i) = 1,0870

1 + i = 1,0211

i = 1,0211 – 1

i = 0,0211 x 100 = 2,11% am

Utilizando a calculadora financeira HP 12-C, teremos:

4 n 5.520,00 CHS PV 6.000 FV i => 2,11% am

PERÍODOS NÃO INTEIROS

A fórmula n geralmente é estendida para valores de “n”

M = C ( 1+i )

positivo e não inteiros, e esta convenção é conhecida como convenção exponencial.

Exemplo 1: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3,5 meses, à taxa de 8% ao mês. Determinar o montante.

n

M = C ( 1+i ) 3,5

M = 1.000,00 ( 1 + 8/100)

M = R$ 1.309,13

Utilizando a calculadora financeira HP 12-C, teremos:

Tratando-se de convenção exponencial, a calculadora financeira HP 12C deverá ser ajustada para trabalhar dessa forma. Assim sendo deverá estar aparecendo no visor a letra “c”. Para tanto deverá ser acionada as teclas EEX e STO.

Observação importante: sem a letra “c” no visor, a calculadora estará preparada para trabalhar com convenção linear e os resultados serão diferentes.

3,5n 1.000,00 CHS PV 8 i FV => 1.309,13

TAXAS EQUIVALENTES

Imagine uma situação onde temos que fazer uma opção entre duas taxas de juros para realizar uma operação: uma taxa de juros expressa ao ano e outra expressa ao mês.

Nesse caso temos que converter uma das taxas, num determinado período, em outra taxa, em outro período, de modo que ambas quando aplicadas ao mesmo capital possam produzir o mesmo montante.

Desse princípio de transformação surge o conceito de taxas equivalentes.

Podemos então dizer de outro que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas sobre um mesmo capital e durante um mesmo prazo, produzirem montantes iguais.

Exemplo 1: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% ao mês? Podemos chamar de i1 a taxa anual procurada e de i2 a taxa mensal dada (2% ao mês). Então teremos:

1 ano = 12 meses (são períodos de tempos iguais)

1 12

( 1 + i1) = ( 1 + i2 )

1 12

(1 + i1 ) = ( 1 + 2/100)

1

(1 + i1 ) = 1,2682

i = 1,2682 – 1 = 0,2682 x 100 = 26,82% ao ano.

Portanto, a taxa de 26,82% ao ano é equivalente em juros compostos a 2% ao mês.

Utilizando a calculadora financeira HP 12-C, teremos:

x

2 enter 100 ÷ 1 + 12 y 1 – 100 x => visor 26,82

Exemplo 2: Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% ao ano? Podemos chamar de i1 a taxa anual procurada e de i2 a taxa mensal dada (15% ao ano). Então teremos:

4 trimestres = 1 ano (são períodos de tempos iguais)

4 1

( 1 + i1 ) = ( 1 + i2 )

4 1

(1 + i1 ) = ( 1 + 15/100)

1/4

4 1/4 [pic 7]

(1 + i1 ) = (1,15)

1 1/4

(i + i1) = (1,15)

1/4

i = (1,15) – 1 = 0,0356 x 100 = 3,56% ao trimestre

Portanto, a taxa de 15% ao ano é equivalente em juros compostos a 3,56% ao trimestre.

Podemos