SIMULADO PARA VESTIBULAR TESTE, TCHUCA

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14)(OMSP – 2002)

[pic 19]

15)(OMMG – 2005) Seja f : N → Z uma função dos números naturais nos números inteiros que cumpre as seguintes propriedades:

• f(1) = 1.

• f(2k + 1) = f(2k) + 1.

• f(2k) = f(k) - 2

Então f(2004) é:

a) -11 b) -12 c) -13 d) -14

16)(OBM – 2005) A função[pic 20] satisfaz [pic 21] para todos os números reais x e y. Sabendo que [pic 22], calcule f(2005).

17)(OBM – 2001) Seja f uma função de Z em Z definida como f(x) = x/10 se x é divisível por 10 e f(x) = x + 1 caso contrário. Se a0 = 2001 e an+1 = f(an), qual é o menor valor de n para o qual an = 1?

- 20

- 38

- 93

D) 2000

E) an nunca é igual a 1

18)(OMPARÁ – 2002) Seja f(n) uma função definida nos números inteiros positivos. Sabe-se que:

i) f(f(n)) = 4n + 9 para todo inteiro positivo n;

ii) f(2k) = 2k + 1 + 3 para todo inteiro não negativo k.

a) Determine o valor de f(25);

b) Determine o valor de f(1789).

19)(OMES – 2001) Achar todas as funções reais f, de uma variável real, que cumprem a condição f(x). f(y) – f(x.y) = x + y, para todos os valores de x e y.

20)(OMESPNHA – 2005) Encontrar todas las funciones [pic 23] tales que

[pic 24].

21)(OMCAMPINENSE – 2002) Seja a função [pic 25] satisfazendo as condições:

(i) [pic 26], se o algarismo das unidades de [pic 27] for 3

(ii) [pic 28]

(iii) [pic 29]

Calcule [pic 30], [pic 31] e [pic 32]

22)(OMCAMPINENSE – 2005) Seja [pic 33] uma função, não identicamente nula, tal que [pic 34] e [pic 35], para quaisquer números reais [pic 36] e [pic 37]. Determine o valor de [pic 38].

a)0 b) 1 c)2 d) -1 e) -2

23)(OMCAMPINENSE – 2001) Seja a função [pic 39] tal que [pic 40], para todo [pic 41]. Mostre que:

[pic 42], para todo [pic 43]

24)(OMSPABC – 2004)Se r é uma raiz da função f(x) = x3 + 2x2 + x + 3, então r4 + r3 – r2 + 2r – 3 é igual a:

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

25)(OMRN-98) Seja f : N N uma função onde f (n + 1) – f (n) = n e f (0) = 0.

- Determine f (1), f (2), f (3) e f (4);

- Ache f (n) em função de n apenas e calcule f (1998).

26)(EUA / O.M.ARGENTINA) A função f satisfaz à equação funcional f(x) + f(y) = f(x + y) – xy – 1 para todo par de números reais x e y. Se f(1) = 1, calcule o número de inteiros n ≠ 1 para os quais f(n) = n.

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

27)(EUA / CANADA) Se f : R → R – {3} uma função que tem como propriedade valores existentes para w > 0 que satisfaça [pic 44], para todo x Є R. Prove que f é periódica.

28)(EUA)Se f(x) = x2 + 3x + 2 e A = {1, 2, 3, ........., 1993}, para quantos elementos x, pertencentes ao conjunto A, f(x) é divisível por 6?

29)(OMRN – 99)Se n é um número inteiro positivo e f(n) = f(n –1) + 2n – 1 para todo n > 1 e f(1) = 1, ache uma fórmula para f(2n)

30)(EUA) Uma função f : R => R tem as seguintes propriedades:

- f(1) = 5

- f(3) = 21

- f(a + b) – f(a) = kab + 2b2 onde k é uma constante.

Calcule f(92)

31)(EUA)Se f é uma função tal que para todos m e n, f(m,1) = m e f(m,n) = f(m + 1,n – 1). Calcule f(2137,842)

32)(ARGENTINA – 94)Seja f : N → N definida por [pic 45]. Calcular f(1994).

33)(ARGENTINA – 97)Sejam a , b , c as medidas dos lados de um triângulo. Demonstrar que f(x) = 6b2.x2 + (6b2 + c2 – a2).x + c2 > 0 para todo x.

34)(SUÍÇA - 99)Determine todas as funções [pic 46] satisfazendo: [pic 47] para todo x no domínio

35)(BALCÂNICA – 87)Seja a um número real e f : |R → |R uma função tal que para quaisquer x, y Є |R:

a) f(x + y) = f(x).f(a – y) + f(y).f(a – x)

b) f(0) = ½

Prove que a função f é constante.

36)(OBM) Para todo n natural definimos a função f por: [pic 48]

[pic 49] se n é par,

[pic 50] se n é ímpar.

O número de soluções da equação [pic 51] é:

A) 2 B) 3 C) 4

D) 5 E) 6

37)(EUA) Para todo inteiro positivo K, definamos f1(k) como o quadrado da soma dos dígitos de k e n ≥ 2 definamos fn(k) = f1(fn-1(k)) . Então f1988(11) vale:

a) 169 b) 256 c) 49 d) 4 e) 16

38)(AMAN) Seja x ∈ {-1, 0, 1}. Se f1(x) = [pic 52] e fn+1(x) = f1(fn)) para todo natural n, então f1988(x) é igual a:

[pic 53]

39)(OMRN – 95) Seja f uma função satisfazendo a equação f(x) + 1995.f(2-x) = (x-1)3. Então, o valor de f(0) é:

(a) 0 (b) 1/1996 (c) –1/1996 (d) –1/1995 (e) –1/1994