Trabalho de matematica sobre as conicas

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Como a concavidade da parábola está voltada para cima, temos o foco e o vértice para o mesmo valor de [pic 40] que tem grau 2:

[pic 41]

[pic 42]

[pic 43]

A equação é:

[pic 44]

Elipse

[pic 45]

A elipse é uma cônica largamente utilizada, principalmente em áreas de tecnologia e Física. As características fundamentais do seu formato estão relacionadas diretamente com a natureza das teorias de espaços curvos, que são estudadas atualmente pelos físicos teóricos. Nas áreas de tecnologia, as características de hiperbolicidade no comportamento de certas grandezas físicas, destacando as eletromagnéticas, são aplicáveis em vários equipamentos onde observam-se conceitos elétromagnéticos e ópticos, os mesmos possuem comportamentos elípticos devido a estas características.

Define-se a elipse como o conjunto de pontos em torno de dois focos, onde a soma das distâncias entre um ponto e cada foco é uma constante. Vejamos o gráfico abaixo:

Neste gráfico a distância focal é [pic 46] e [pic 47] é constante para todos os pontos do gráfico da elipse. Os pontos [pic 48] são os vértices da elipse, enquanto que [pic 49] são os pontos de menor raio.

[pic 50]

Os parâmetros de uma elipse.

A equação da elipse pode ser encontrada, como no caso anterior da parábola, explorando a propriedade de simetria dos diversos pontos, os quais mantém a soma das duas distâncias para os focos sempre igual para todos os pontos da curva. Podemos fazer:

[pic 51]

Sendo [pic 52], um ponto qualquer e [pic 53] a constante. Conforme observamos no gráfico, temos dois lados simétricos onde a distância ao foco de cada lado é [pic 54], a altura é [pic 55] e uma distância entre o foco e o ponto [pic 56] que é [pic 57], o que nos leva a dizer que [pic 58], portanto:

[pic 59]

Sendo a elipse centrada nos eixos, temos os pontos:

[pic 60]

[pic 61]

[pic 62]

O que nos leva a:

[pic 63]

[pic 64]

Elevando os dois termos da equação ao quadrado:

[pic 65]

Fazendo a simplificação algébrica, teremos:

[pic 66]

[pic 67]

Elevamos os dois membros ao quadrado novamente:

[pic 68]

Depois das simplificações algébricas teremos:

[pic 69]

Porém, observando o gráfico, podemos concluir que:

[pic 70]

e a equação pode ser:

[pic 71]

O que nos leva a equação da elipse:

[pic 72]

Podemos verificar que quando [pic 73] temos: [pic 74] e quando [pic 75] temos: [pic 76], sendo estes valores o menor e o maior raio para a cônica, respectivamente.

Quando substituimos as variáveis ou as constantes, uma pela outra, temos uma elípse cujo maior raio sustenta-se no eixo das ordenadas, pois a correlação de valores é intuitivamente perceptível no gráfico. De maneira geral, se [pic 77] teremos uma elipse com o raio maior sobre as abscissas e se [pic 78] a teremos com o raio maior sobre ordenadas.

O centro da elipse serve de referência quando a mesma não está centrada na orígem do sistema de eixos. Para converter valores a forma correta para uma elipse fora da orígem do sistema de eixos, usamos a referência das coordenadas absolutas do ponto onde o centro da elipse se encontra, para encontrar a equação correta para a mesma:

[pic 79]

Exemplo 1 - Parâmetros da elipse

Encontrar o eixo maior, o eixo menor, os vértices e os focos da elipse representada pela equação: [pic 80].

Primeiro, reduzimos a equação a forma padrão para analisar os valores das constantes, para isso formamos quadrados perfeitos com as partes de cada variável:

[pic 81]

[pic 82]

[pic 83]

[pic 84]

Portanto,

- O centro da elipse está na coordenada [pic 85];

- O raio maior mede [pic 86] unidades e é paralelo às ordenadas;

- O raio menor mede [pic 87] unidades e é paralelo às abscissas.

- Os vértices são: [pic 88]

Para calcular as coordenadas dos focos fazemos:

[pic 89]

[pic 90]

[pic 91]

- Os focos são: [pic 92].

Exemplo 2 - Equação da elipse I

Encontrar a equação da elipse cujos focos tem como coordenadas: [pic 93] e raio menor igual a 2 unidades.

Podemos verificar que os focos estão sobre um mesmo valor de abscissa, enquanto que as ordenadas são [pic 94] e [pic 95], o que nos dá um valor de [pic 96], logo temos:

[pic 97]

[pic 98]

[pic 99]

O centro da elipse está no ponto médio entre os dois focos, ou seja: [pic 100]

A equação da elipse é, portanto: