Curso de Engenharia de Controle e Automação Industrial

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- Se a derivada é substituída pela diferença de primeira ordem e aplicando a aproximação trapezoidal para a integral, então:

q0 = Kc1 + Ts/(2Ti) + Td/Ts ; q1 = –Kc1 + (2Td)/Ts – Ts/(2Ti) ; q2 = Kc(Td/Ts)

No projeto do controlador PID, obtido pela discretização direta da equação diferencial, as parcelas das bandas proporcional e derivativa aparecem multiplicadas pelo erro do sistema, e(t), ou seja, pelo instante atual do erro. Isto tem uma implicação direta no desempenho do controlador uma vez que variações bruscas na referência, yr(t), também no erro, variam instantaneamente, como se observa pela equação e(t) = yr(t) – y(t). Assim, as bandas proporcional e derivativa geram ações de controle, u(t), que podem ser excessivas (de magnitude elevada) e, consequentemente, comprometem a operação do atuador do processo (a banda derivativa executa a derivada do erro). Para evitar problemas práticos nestas concepções de projeto pode-se optar pela seguinte implementação PID:

- Manter o termo integral que está relacionado com

e(t) = yr(t) – y(t)

- Substituir os termos proporcional e derivativo por

e(t) = –y(t)

Logo, a lei de controle PID, agora denominada I+PD, pode ser calculada por

u(t) = u(t–1) + Kc{–y(t) + y(t–1) + (Ts/Ti)e(t–1) + (Td/Ts)[–y(t) + 2y(t–1) – y(t–2)]}

Embora este tipo de implementação I+PD reduza a velocidade de resposta do sistema controlado, o benefício quanto a minimização tanto do esforço de controle como da variação da saída na presença de ruído na malha torna-se evidente na prática.

Projeto PID Digital pelo Método de Dahlin

O atrativo de projetos de sistemas de controle digital direto com estrutura PID continua sendo investigado em universidades e indústrias que atuam na área de controle de processos. A seguir, desenvolve-se um controlador PID digital baseado na síntese direta sendo o algoritmo de controle denominado Dahlin.

Considere o diagrama de blocos de um sistema de controle discreto conforme ilustra a Figura (1).

[pic 9]

Yr(z) + E(z) U(z) Y(z)

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Figura 1 – Diagrama clássico de uma malha de controle digital.

De acordo com a Figura (1) a função de transferência de malha fechada é calculada por

[pic 10] (1)

Resolvendo a equação (1) para derivar Gc(z), que corresponde a equação da síntese direta do controlador, obtém-se

[pic 11] (2)

Da equação (2) observa-se que o controlador depende tanto da função de transferência da planta, Gp(z,) como da especificação da resposta de malha fechada, Y(z)/Yr(z). Para tratar processos de primeira ordem com atraso de transporte (FOPDT — First-Order Plus Dead-Time) ou de segunda ordem e assegurar a realização do controlador, admite-se que a resposta de malha fechada resultante comporta-se como um sistema de primeira ordem, isto é,

[pic 12] (3)

sendo q = exp(–Ts/τMF) e τMF a constante de tempo de malha fechada desejada. Substituindo a equação (3) na equação (2) tem-se

[pic 13] (4)

Como na maioria dos casos práticos os processos podem ser aproximados por modelos matemáticos de segunda ordem, então é possível representar a planta como

[pic 14] (5)

Substituindo a equação (5) na equação (4) obtém-se o controlador digital dado por

[pic 15] (6)

Para o projeto do controlador PID de Dahlin considera-se a seguinte função de transferência do controlador PID digital na forma ideal:

[pic 16] (7)

Para evitar tanto um comportamento instável pela característica de fase não-mínima da planta como a presença de oscilações (também denominado ringing) no sinal de controle, o primeiro termo do denominador da equação (6) modifica-se para

[pic 17]

Substituindo o termo simplificado na equação (6) obtém-se

[pic 18] (8)

Relacionando as equações (7) e (8) resulta que

[pic 19]

onde

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Portanto, as equações de sintonia dos parâmetros PID são dadas por

[pic 24]

[pic 25]

[pic 26]

Observações:

- A consideração de projeto para imposição da estrutura PID tal como

[pic 27]

é conduzida de modo a não afetar o ganho do controlador. Adicionalmente, remove-se o pólo da função de transferência do controlador que é vantajoso em situações experimentais onde a presença do pólo com parte real positiva produz oscilações na variável de controle.

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