Atividade Prática Supervisionada: Resumo capítulo

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Mecânica Lagrangiana

A mecânica lagrangiana é baseada na diferenciação dos termos de energia com relação às variáveis do sistema e ao tempo, como mostrado a seguir. Para casos simples, pode demorar mais para utilizar essa técnica que a mecânica newtoniana. No entanto, à medida que a complexidade do sistema aumenta, o método de Lagrange torna-se relativamente simples de usar. A mecânica lagrangiana é baseada nas duas equações generalizadas seguintes: uma para movimentos lineares e uma para movimentos de rotação. Primeiro, nós definimos o lagrangiano como:

[pic 1]

em que é o lagrangiano, é a energia cinética cio sistema, e é a energia potencial do sistema. Então:[pic 2][pic 3][pic 4]

[pic 5]

[pic 6]

em que é a soma de todas as forças externas para um movimento linear, é a soma de todos os conjugados externos para um movimento de rotação, e e são as variáveis do sistema. Como resultado, a fim de obter as equações do movimento, precisamos derivar equações de energia para o sistema e então diferenciar o lagrangiano ele acordo com as Equações acima. Os cinco exemplos seguintes demonstram a aplicação da mecânica lagrangiana na derivação das equações de movimento.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10]

Momentos de Inércia Efetivos

As equações do movimento podem ser reescritas de forma simplificada:

[pic 11]

Nesta equação, que é escrita para um sistema de 2-GDL, um coeficiente na forma é conhecido como a inércia efetiva na articulação , tal que uma aceleração na articulação provoca um conjugado na articulação igual a . Um coeficiente na forma é conhecido como inércia de acoplamento entre as articulações e , já que uma aceleração na articulação ou provoca um conjugado na articulação ou igual a ou . Os termos representam forças centrípetas atuando na articulação devido a uma velocidade na articulação . Todos os termos em representam acelerações de Coriolis e, quando multiplicado pelas inercias correspondentes, representam as forças de Coriolis. Os termos restantes na forma representam forças gravitacionais na articulação .[pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29][pic 30][pic 31]

Equações Dinâmicas de robôs com Múltiplos-GDL

As equações dinâmicas para um sistema 2-GDL são muito mais complicadas que as de um sistema de 1-GDL. Logo, essas equações para um robô de múltiplos GDL são muito longas e complicadas, mas podem ser encontradas por meio do cálculo da energia cinética e potencial dos elos e das articulações, definindo o lagrangiano, e diferenciando a equação de Lagrange em relação às variáveis articulares.

O procedimento para energia cinética de um corpo rígido em movimento 3-D é representado pela equação abaixo:

[pic 32]

em que é o movimento angular do corpo em torno de G.[pic 33]

[pic 34]

Um corpo rígido em movimento 3-D e em movimento plano.

A energia cinética de um corpo rígido em movimento plano (figura b) é simplificada como:

[pic 35]

Portanto, tem-se de derivar expressões para a velocidade de um ponto sobre um corpo rígido (por exemplo, o centro de massa G), bem como os momentos de inércia.

A velocidade de um ponto em um elo de um robô pode ser definida por meio da diferenciação da equação de posição do ponto, que em nossa notação é expressa por um referencial relativo à base do robô,. Aqui, vamos utilizar as matrizes de transformação D-H , para encontrar os termos de velocidade para pontos ao longo dos elos do robô. Foi definido a transformação entre o referencial da mão e o referencial da base do robô em função das matrizes como:[pic 36][pic 37][pic 38]

[pic 39]

Para um robô de 6 eixos, esta equação pode ser escrita como:

[pic 40]

A derivada de uma matriz de uma articulação rotativa com relação à sua variável artolar é:[pic 41][pic 42]

[pic 43]

No entanto, essa matriz pode ser dividida em uma matriz constante e a matriz tais que:[pic 44][pic 45]

[pic 46]

Ou:

[pic 47]

Da mesma forma, a derivada de uma matriz para uma articulação prismática com relação à sua variável articular [pic 48][pic 49]

[pic 50]

que, como antes, pode ser dividida em uma matriz constante e a matriz tais que:[pic 51][pic 52]

[pic 53]

Ou: [pic 54][pic 55]

As matrizes são sempre constantes, como mostrado, e podem ser resumidas como:[pic 56]

[pic 57][pic 58]

Usando para representar as variáveis articulares (... para articulações rotativas e ... para articulações prismáticas), e estender o mesmo princípio de diferenciação para a matriz com múltiplas variáveis articulares ( e ), diferenciadas apenas em relação a uma variável resultará em:[pic 59][pic 60][pic 61][pic 62][pic 63][pic 64][pic 65]

[pic 66]

Note que desde que é diferenciada apenas em relação a uma variável , há somente um [pic 67][pic 68][pic 69]

Derivadas de ordem superior podem igualmente ser formuladas a partir de:

[pic 70]

Derivando o termo de velocidade para um ponto em um elo de um robô. Utilizando para representar um ponto em qualquer elo do robô em relação ao referencial , a posição do ponto pode ser expressa pré-multiplicando o vetor