ESTUDO DO TEOREMA DE FERMAT - MATEMÁTICA

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II ) Um número inteiro “Z” pode ser representado por Pares de Quadrados ´ (αi 2 - βi 2). Conforme o método usado e a composição de “Z” em fatores, ´ podem ser definidos séries de “Qp” de Pares de Quadrados que resultam ´ todos no valor de “Z”.

ÍI.1 ) Para o estudo de potências Zn usamos métodos que permitam ´ ´ ´ que o número de Pares de Quadrados tenha uma relação conhecida ´ ´ com a composição fatorial de “Z”. No caso “n”,”m” e “k” são números ´ ´ inteiros, αi e βi resultam em úmeros inteiros ou inteiros +-0.5.

II.2) Split=1: A identidade Zn = ((Zn-m + Zm)/2)2 – ((Zn-m – Zm)/2)2 , ´ mudando “m” de “0” a “n”, permite definirmos uma séria de Qp=(n+1) ´ Pares de Quadrados, que todos expressam Zn. ´ Denominamos este método com “Split=1”, que significa que a base “Z” é ´ ´ entendida como um número inteiro, embora, possa ser composta por ´ 2 ou mais fatores. Exemplo: n=3 , Qp=(n+1)=4 ´ m=0: 63 *60 = 108.52 – 107.52 = 216 = 63 ´ m=1: 61*62 = (21)2 – (–15)2 = 216 ´ m=2: 62*6 = 212 – 152 = 216 ´ m=3: 60*63 = (108.5)2 – (–107.5)2 = 216

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II.3) Split=2: Neste caso, “Z” é entendido como Z=z1*z2, embora, ´ na realidade, z1 e z2 também possam ter seus sub -fatores. ´ A Identidade: ´ Zn = ((z1n-m *z2n-k + z1m*z2k )/2)2 – ((z1n-m *z2n-k – z1m*z2k )/2)2 ´ = (z1n-m *z2n-k)*(z1m* z2n) ,’

´ com a mudança combinada de “m” e “k” de 0 a “n” , ´ podemos estabelecer uma série de Qp= (n+1)2 Pares de Quadrados que ´ têm todos o valor Zn.

Exemplo: n=3 ; Z=6; z1=3; z2=2 ´ (3n-m * 2n-k) (3m* 2k ) produto=

m=0; k=0 27*8 1*1 216 ´ m=0;k=1 27*4 1*2 216 ´ m=0 k=2 27*2 1*4 216 ´ ´ m=0;k=3 27 * 1 1* 8 216 ´ m=1;k=0 9 *8 3 *1 216 ´ m=1 ;k=1 9 *4 3 *2 216 ´ m=1 ;k=2 9* 2 3*4 216 ´ m=1 ;k=3 9 *1 3*8 216 ´ m=2 ;k=0 3 *8 9 *1 216 ´ m=2 ;k=1 3 *4 9*2 216 ´ m=2;k=2 3 *2 9*4 216 ´ m=2;k= 3 3 *1 9 *8 216 ´ m=3;k=0 1 *8 27*1 216 ´ m=3; k=1 1 * 4 27*2 216 ´ m=3;k=2 1 * 2 27 *4 216 ´ m=3; k=3 1 * 1 27 *8 216

Temos um total 16 Pares de Quadrados Qp = (n+1)2 para Split = 2

´ Pag. 4 de 6 III) Número de Pares de Quadrados de uma Soma ou Diferença de ´ ´ Potências An e Bn , Cn - Bn , Cn - Bn ,

Ambos podem ser representados, cada, por Qp= (n+1) Pares de ´ Quadrados distintos, p/exemplo: (Split=1, veja II.2) ´ An = 53 = 632 – 622 = 125 Bn = 73= 1722 – 1712 =343 ´ 53= 152 – 102 = 125 73= 282 – 212 = 343 ´ 53= 152 – (-102) = 125 73 = 282 – (- 21)2 = 343 ´ 53= 632 – (-622) = 125 73 = 1722 – (-1712) = 343

A soma An + Bn = 53 + 73 = 468 , o que pode ser expressa pela ´ combinação das duas séries, por (n+1)2 = 16 Pares DUPLOS de ´ Quadrados. sendo: 53 + 73 = 468 =

´ 1) = 632 - 622 + 1722 - 1712 9) = 152 – 102 + 1722 - 1712 ´ 2) = 632 - 622 + 282 - 212 10) = 152 – 102 + 282 - 212 ´ 3) = 632 - 622 + 282 - (-21)3 11) = 152 – 102 + 282 – (-21)2 ´ 4) = 632 - 622 + 1722 - (-171)2 12) = 152 – 102 + 1722 – (-171)2 ´ ´ 5) = 632 - (-62)2 + 1722 - 1712 13) =152 – (-10)2 + 1722 - 1712 ´ 6) =632 - (-62)2 + 282 – 21)2) 14) =152 – (-10)2 + 282 - 212 ´ 7) = 632 - (-62)2 + 282 – (-21)2) 15) =152 – (-102) + 282 – (-21)2 ´ 8) = 632 - (-62)2 + 1722 - (-171)2 16) =152 – (-10)2 + 1722 – (-171)2 ´ ´ III.1) A tabela acima representa An + Bn em 16 =( n+1)2 Pares DUPLOS, de diferentes combinações de Pares de Quadrados . Se An + Bn = Cn for realidade, a tabela acima poderá ser convertida em Qp= 16 = (n+1)2 Pares SIMPLES de Quadrados, (γi2 - δi2), no sentido: An + Bn = ( (ai2 - bi2) + (αi2 - βi2) ) = An + Bn = Cn = (γi2 - δi2) para i=1 a (n+1)2

III.2) Fica evidente também, que Cn - An e Cn - Bn = também serão ´ representáveis por Qp= (n+1)2 Pares de Quadrados, cada, ´ ou seja Cn - An = (εi2 - ηi2) e Cn - Bn = (ρi2 - σi2).

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IV.1 então, conf. (I.2), An, Bn e Cn tem que ser representáveis também ´ por Qp= (n+1)2

IV.2) Esta possibilidade acontece exatamente quando se usa split=2 ´ ver (II.3) na transformação de An , Bn e Cn em Pares de Quadrados.

Este fato pode ter levado Fermat a referir-se a uma solução ´ ´ “verdadeiramente feliz”, pois, justamente a exigência em IV.1) que ´ ´ tornaria An+ Bn = Cn (n>2) numa possibilidade, a mesma torna ´ ´ An+ Bn = Cn (n>2) IMPOSSÍVEL, na região finita de números. Vejamos:

IV.3) Se An, Bn e Cn tem que ser expressos em pares mediante Split=2, cada ´ ´ uma então representável com (n+1)2 Pares de Quadrados, sua soma ´ ´ An + Bn e diferenças Cn - An e Cn - Bn resultariam em séries de (n+1)4 ´ ´ Pares de Quadrados, o que exigiria que An, Bn e Cn sejam expressos ´ ´ mediante um método Split = 4, o que de novo causaria um aumento ´ ´ dos Pares de Quadrados resultantes

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