Aproximação da Discussão Matemática do Infinito: Sobre a Abordagem Geométrica ou Conjuntista

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Segundo Aristóteles, na Física, a crença na realidade universal do infinito em todas as coisas, números, magnitudes e etc., tanto para o máximo quanto para o mínimo provêem de cinco razões. Uma destas razões poderia ser tratada aqui, pois trata da idéia que os matemáticos tinham do contínuo por meio da infinita divisibilidade das magnitudes e dos números. Assim, então, ele explica a razão pela qual os matemáticos pensam na infinita divisibilidade da magnitude, fazendo, pois, uso do infinito porque “ao não encontrarem nunca um termino em seus pensamentos, pensam que não somente o número é infinito, mas também as magnitudes matemáticas (...)” (Física, III, 203 b 24). Mas o correto seria, para Aristóteles, considerar o infinito nos números somente no aumento e nas magnitudes apenas na diminuição e não em todos os casos, isto é, no número para diminuição e na magnitude por aumento.

Alguns problemas surgem ainda a esse respeito e lida com a questão do infinito atual e potencial. Quando Aristóteles fala que “tampouco pode haver um número infinito separado, pois um número, ou que tem número, é numerável; e se fosse possível numerar o que é inumerável, então seria possível recorrer ao infinito” (Física, III, 204 b 4-9) atualizado e de um modo completo. O infinito ao qual seria possível recorrer é o infinito atual, o que é impossível para Aristóteles. Assim, esse texto não nega todo o infinito quando nega a possibilidade de se contar o infinito, atualizado. O infinito para Aristóteles é apenas potencial, incontável, tanto nos números sempre maiores como nas magnitudes sempre menores (Física, III, 204 b 4-9).

Resta lembrar, tal como o próprio Aristóteles, que o infinito não é um potencial que tenderá a virar ato, de modo que ele permanece, pois, eternamente potencial. A atualidade do infinito significaria ser capaz de contá-lo, daí se obteria um infinito atual, mas isso não estava no horizonte das preocupações aristotélicas, pois para ele aquilo que é infinito é por definição incontável e o que é finito é contável. Cantor foi quem tomou o infinito atual em um sentido rigoroso, sendo possível provar matematicamente sua atualidade (essa prova ainda permanece intacta?), isto é, contá-lo com a teoria de conjuntos.

Aristóteles não tinha uma concepção aritmética do que fosse sempre infinitamente menor. Bolzano e o movimento posterior a ele de “aritmetização da análise” tentam elaborar uma concepção a respeito. A ênfase do tratamento do infinito em Aristóteles não é pelos números, mas pela magnitude de um corpo, tanto que ele, na Física, dedica um livro inteiro para falar disso. O contínuo em Aristóteles é um problema matemática surgido de um problema físico: a continuidade do espaço e do tempo conforme os paradoxos de Zenão.

O tratamento geométrico do infinito seria esse adotado por Aristóteles, sobre a magnitude de um corpo que sempre aumenta numericamente na divisão para o mínimo, cuja definição de infinito é associada a temporalidade, isto é, a algo que pode ser sempre dividido sem nunca encontrar um final, temporalmente falando. Bolzano se refere a esta idéia de tratar o infinito por uma associação a temporalidade como uma forma não-rigorosa de abordagem. Considerar “que o infinito é aquilo que não tem fim” não é mais uma definição satisfatória para Bolzano (§12, 3). O infinito não deve ser definido apenas como um fim no tempo, pois ele não se liga obrigatoriamente ao fluxo temporal, existindo quantidades abstratas como linhas que podem ser infinitas ou finitas e não estão relacionadas ao tempo (ibidem).

Além dessa crítica à associação do contínuo a noção temporal, de fluxo temporal, Bolzano crítica também a noção de infinito potencial, quando defende que precisa entender o sentido de “assignable”, isto é, determinável, atualizável, para chegar a um infinito atual (§ 12, 4).

*** Bolzano, por meio da teoria de conjuntos, busca entender com mais propriedade o que é o infinito dos números, isto é, de uma coleção de unidades sempre maiores e também as coleções com números sempre menores, isto é, tanto pelo aumento como pela diminuição. Isso aparece no momento em que Bolzano precisa o conceito de infinito com o qual trabalhará, opondo-se implicitamente ao modo geométrico de tratá-lo. A compreensão dos termos infinito e finito será feita por meio da idéia de conjunto, isto é, uma multitude que é um conjunto de unidades. Neste sentido é que será importante, para Bolzano, entender qual a função da conjunção “e” em uma sentença para especificar adequadamente o que se compreende por um conjunto, a saber, um agregado de objetos well-defined, ou um todo composto de membros well-defined. O que significa falar em objetos e membros bem definidos (well-defined)? Significa a importância de que ele possua, na verdade, uma individualidade bem-defenida, isto é, sejam entidades absolutamente distintas, pois seria absurdo falar de um conjunto composto de coisas como A e B em que A e B sejam a mesma coisa. (Sobre a não-individualidade do Décio. Talvez a não-individualidade seja lidar com objetos que não sejam bem-definidos).

Essa conjunção “e” lhe auxilia a explicar como ele entende a diferença entre conjunto (Menge) e multitude (Vielheit) e também como ele considera alguns agregados que possui membros que são compostos por eles mesmos, designado por ele como soma. Assim, as propriedades da conjunção “e” permitem identificar uma característica essencial de soma aos conjuntos e aos seus membros. Conforme ele mesmo expressa: “alguns agregados, isso é bem sabido, possuem membros que são por eles mesmos composto, e eles mesmos agregados, portanto. Comparado a isto, alguns são analisados de um ponto de vista em que são indiferentes se não forem tomados os membros dos sub-agregados como membros do agregado principal. Eu emprestou um termo das matemáticas, e chama esses agregados somas. ” (§ 5).

Isso é fundamental para entender também a idéia de uma série de objetos agregados, que possuem, para serem chamados assim uma certa regra que lhes estabeleça a ordem, como quando ele define números: “Imaginemos uma série em que o primeiro termo é um indivíduo da espécie A, em que todos os termos subseqüentes são derivados de seu predecessor pela junção de novo indivíduo da espécie A para formar uma soma com seu predecessor. Claramente, então, todos os membros destas séries, com exceção do primeiro, que é um simples indivíduo da espécie A, serão multitudes da espécie A. Essa multitude eu chamo de finita ou contável multitude, ou mais precisamente: números; e mais especificamente: números inteiros – e isso também