Métodos Numéricos Aplicados à Engenharia

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coisa a fazer é estimar os parâmetros a,b e c segundo os critérios do enunciado

3.2.2 Aplicação do Método de Newton-Raphson

A solução inicial vai ser o vetor:

331,5

x(0) = 198,6

14

Agora para seguir os passos do método, tem que se calcular F(x(0)) e J-1(x(0)), ou seja calcular o vetor F e a matriz Jacobiana a partir da solução inicial

Assim, finalmente, pode ser aplicada a fórmula iteradora do Método de Newton-Raphson.

E assim, obter o seguinte valor para a 1ª iteração

Pela análise dos resultados obtidos para a 1ª iteração, é possível ver que o vetor x(1) fosse muito semelhante ao vetor x(0) nas duas primeiras casas decimais. Mas é possível fazer o estudo gráfico da função exponencial relativamente aos dados experimentais para avaliar a qualidade da aproximação.

Pela análise do gráfico é fácil ver que a solução inicial escolhida, está próxima da ideal pois o gráfico da função exponencial descreve bem a evolução dos dados experimentais.

4 Estudo Comparativo entre as Aproximações

No problema 3, pretende-se descrever o comportamento do material fora do domínio previsto pelo ensaio de tração (domínio plástico). Pretende-se comparar os valores previstos pelo polinómio de grau 6 com os obtidos com a função exponencial, para valores de deformação plástica e ? [0.23; 0.5].

Pretende-se avaliar qual das duas funções não deve ser utilizada.

4.1 Qualidade da aproximação das funções para valores e ? [0.23; 0.5]

No gráfico estão apresentados os dados experimentais, a aproximação polinomial e a aproximação exponencial para valores e ? [0; 0.5] de modo a analisar toda a aproximação seja ela no domínio elástico ou plástico.

Ora, é notório que na parte correspondente ao domínio elástico, ou seja, para e ? [0; 0.2] qualquer uma das aproximações é boa, no entanto, a polinomial está melhor ajustada.

A partir do domínio plástico, ou seja, para e ? [0.2; 0.5], observa-se que o polinómio desaparece para um valor de deformação perto de e=0.3, enquanto que a aproximação exponencial continua sempre a tender para infinito.

Assim sendo e sabendo que o ensaio de tração é realizado até à rotura do material (momento em que a tensão, s=0), não faz sentido utilizar a função exponencial pois, nesse caso o que sugere a função é que, seja qual for o valor da tensão aplicada ao provete, vai sempre haver uma deformação associada sem que ocorra a rotura.

Ora, isto na prática não é verdade, então o polinómio descreve melhor o comportamento de um ensaio de tração sendo que deve ser aproximado tendo em conta as propriedades do material como é o módulo de elasticidade €, ou a resistência à fratura, para que seja o mais próximo possível da realidade.

5 CONCLUSÕES

Para realizar um ensaio de tração e avaliar o comportamento mecânico de um determinado material a partir de dados experimentais fornecidos, tem-se várias hipóteses como referido anteriormente.

Neste caso foi estudada a aproximação polinomial com um polinómio de grau 6 e a aproximação exponencial.

Embora alguns valores calculados durante as aproximações estivessem errados, a partir da análise gráfica é possível ter uma ideia do comportamento de ambas as aproximações.

Conclui-se então que no domínio elástico ambas são boas aproximações, mas no domínio plástico a aproximação que se adequa mais é a polinomial uma vez que vai ao encontro da definição de ensaio de tração. Um ensaio de tração consiste em aplicar uma força uniaxial no material, tendendo-o a alongá-lo até o momento de sua fratura, sendo então necessário que em algum ponto a tensão seja zero, caso contrário o ensaio nunca acabava e assumia-se que o material tinha um alongamento e resistência infinita, pela análise da aproximação exponencial.