Teorema de Papus

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Teorema: Girando-se uma região plana [pic 42]em torno de um eixo de seu plano, eixo esse que não corta a região, o volume do sólido de revolução assim formado é igual ao produto da área da região pelo comprimento da trajetória descrita pelo centróide da região (Fig. abaixo), ou seja,

[pic 43]

[pic 44]Demonstração: A seção transversal do sólido de revolução é a região limitada pelas funções [pic 45]e [pic 46]no intervalo [pic 47]. Usando o método dos discos, o volume deste sólido o volume desse sólido é

[pic 48]

Por outro lado, o centróide da região [pic 49]é dado por

[pic 50]

Dessas duas expressões segue o resultado.

Exemplo: Usando o teorema de Pappus, achar o centróide de um semicírculo de raio [pic 51].

[pic 52]Resolução: A área do semicírculo é igual a [pic 53]e o volume do sólido gerado pela rotação de um semi-círculo de raio [pic 54]é o volume de uma esfera de raio [pic 55], isto é, [pic 56]. Usando a fórmula acima, segue que [pic 57].

O volume da rosquinha de Homer que aliás é um toro ou câmara de ar fica fácil com a fórmula deduzida acima. Supondo que a seção transversal é um círculo e que [pic 58]é o raio interno e [pic 59]é o raio externo da rosquinha, então seu volume é dado por

[pic 60]

Postado por Prof. Paulo Sérgio às 05:17 [pic 61]

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Teorema de Pappus e Guldin

O teorema de Pappus e Guldin para para o cálculo de áreas de superfícies de revolução diz o seguinte: A área de uma superfície de revolução é igual ao produto entre o comprimento de sua linha geratriz pelo comprimento da distância percorrida pelo centróide da geratriz durante a revolução da mesma.

[pic 62]

Figure 6.9: Superfície de revolução

Vejamos um exemplo para o caso do cáclulo da área superficial de uma superfície gerada a partir da revolução de uma linha de comprimento [pic 63]ao redor do eixo [pic 64], sendo [pic 65]paralela a [pic 66]e distante [pic 67]deste. Como o centróide da linha, neste caso particular, está contido sobre a mesma, temos, pelo teorema de Pappus e Guldin:

[pic 68]

O teorema de Pappus e Guldin para o cálculo de volumes de revolução diz o seguinte: O volume de um sólido de revolução é igual ao produto da área da superfície geratriz pela distância percorrida pelo centróide da superfície geratriz durante a revolução.

[pic 69]

Figure 6.10: Sólido de revolução

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Os teoremas de Pappus e de Pascal Gabriel de Oliveira Martins

Conteudo 1 Introducao: O espaco afim e as afinidades 3

2.1 A construcao do espaco projetivo

5

2.2 Dualidade

8

2.3 Transformacoes projetivas

10

2.4 Homografias e a reta projetiva

1

2.5 A razao dupla e o teorema de Pappus

13

2 O espaco projetivo 5

3.1 Conicas afins e as conicas projetivas

17

3.2 Conicas duais

19

3.3 A razao dupla em conicas e o teorema de Pascal

20

3 Curvas algebricas planas projetivas 17

4.1 A resultante de dois polinomios

25

4.2 Polinomios homogeneos

27

4.3 Sistemas de curvas algebricas

28

teoremas

29

4 A algebra na geometria 25 4.4 O Teorema de Bezout e novas demonstracoes para os mesmos 5 Apendice: Recortes afins 34 6 Bibliografia 35

1 Introducao: O espaco afim e as afinidades

Comecamos nosso estudo com a definicao do espaco afim de dimensao n sobre um corpo k, que e o espaco em que estamos acostumados a fazer geometria. Esse espaco, denotado por An(k), e na verdade uma tripla (A,E,V), onde A e um conjunto, E e um espaco vetorial sobre k de dimensao n e V e uma funcao

[pic 70]

tal que as duas condicoes seguintes sao respeitadas

1. O mapa parcial Vp : q 7→ ~pq e uma bijecao de A em E. 2. Dados tres pontos p,q,r ∈ A temos ~pr = ~pq + ~qr (relacao de Chasles)

O espaco vetorial E e chamado de direcao de An e o espaco An e dito dirigido por E. Note que a diferenca desse espaco afim para o espaco vetorial kn e pequena, simplesmente deixamos claro que nao existem pontos especiais em An(k) (como a origem, por exemplo, e um ponto especial em E). E comum omitir o corpo sobre o qual estamos trabalhando e escrever apenas An.

Repare tambem que e facil induzir um sistema de coordenadas no nosso espaco afim, simplesmente escolhendo um ponto o ∈ An e olhar