Teorema de Freudentein

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Além de resolver o problema de análise, ou seja, obter valores de ψ para um dado comprimento Φ, é também muitas vezes de grande importância para a engenharia para projetar um mecanismo de quatro ligações que pode dar valores desejado (s) de ψ para determinados valore (s) de Φ.

Para projetar um mecanismo desse tipo, precisamos determinar os comprimentos de ligação e outras variáveis de projeto. Antes do trabalho de Freudenstein existia abordagens gráficas para o projeto de mecanismos de quatro-barras, onde as características desejadas poderiam ser satisfeitas em um número finito de configurações, também chamados de pontos de precisão, na gama de movimento do mecanismo. Os pontos de precisão e esforço foram feitos para minimizar o erro em outras configurações. O design é tipicamente feito por três ou quatro pontos de precisão.

- Abordagem Analítica de Freudenstein

Em contraste com a abordagem gráfica, Freudenstein desenvolveu uma abordagem analítica para análise e projeto de mecanismos quatro ligações. Em sua tese, ele apresenta uma equação relacionadas a rotação dos ângulos Φ e ψ em termos da ligação dos comprimentos a, b, c e d. A equação escalar, que agora é conhecido como Equação de Freudenstein, essencialmente, é a condição para o conjunto das ligações (também chamados de restrição loop-fechamento) em um mecanismo de quatro-ligação em um determinado Φ. Nós seguimos o desenvolvimento da equação de Freudenstein usando a figura 2 que tem a figura 1 como referência.

[pic 2]

Figura 2: Um mecanismo de quatro-ligação para a geração de função

O quadro normalizado para a unidade e os outros comprimentos são indicadas por b, c, d, e o ângulo de entrada e saída são Φ e ψ, respectivamente. O vetor AB, ponto de localização B em relação a A, pode ser obtido em termos de b e do ângulo Φ, do mesmo modo o vetor de AD = AC + DC pode ser obtida em termos de 1, d, e ângulo ψ. Uma vez que a equação vetorial

AB + BC = AD + DC (1)

deve ser sempre satisfeito para montar o mecanismo de quatro ligações, Freudenstein escreveu a equação escalar

BC · BC = (AB + CD + DA) · (AB + CD + DA) (2)

Na equação acima, os vetores de CD e DA são iguais ao negativo da DC e AD, respectivamente, e o símbolo “ · “ representa a operação de produto escalar do vetor. Simplificando a equação (2), Freudenstein obteve uma equação escalar simples

R1 cos Φ − R2 cos ψ + R3 = cos (Φ − ψ) (3)

Onde

R 1 = 1 / d (4)

R 2 = 1 / b (5)

R 3 = (1 + b 2 - C 2 + D 2 ) / (2bd) (6)

A equação (3) é conhecida como a equação de Freudenstein e é prontamente aplicável a análise cinemática de mecanismos de quatro bar - de comprimentos, conhecidas as ligações e a entrada ângulo Φ, o ângulo de saída ψ pode ser encontrado. Usando o meio-ângulo tangente bem conhecido, fórmulas trigonométricas, seno e cosseno do ângulo ψ, é possível mostrar que existem dois possíveis ψ 's para um determinado ângulo Φ - um fato consistente com os resultados gráficos obtido anteriormente.

A equação (3) pode também ser utilizada diretamente para a síntese de três pontos de precisão para uma função, gerando mecanismo de quatro ligações. Dados três valores de entrada Φi, i = 1, 2, 3, e o correspondente três valores de saída ψi, i = 1, 2, 3, pode-se substituir estes pares em ângulo na equação (3) para obter três equações lineares em R1, R2 e R3. Uma vez que R1, R2 e R3 são obtidos a partir da solução das equações lineares, pode-se obter facilmente os comprimentos de ligação b, d, e C a partir das equações (4), (5) e (6), respectivamente. É interessante comparar a abordagem gráfica e a abordagem analítica para o projeto de três pontos de precisão de um mecanismo quatro-ligação. No primeiro, o centro de um círculo deve ser determinado a partir de três pontos num plano enquanto que nas últimas três equações lineares precisam de ser resolvidos. Uma segunda diferença é a escolha das variáveis ​​de desenho - na gráfica abordar a rotação de partida do link de saída ψ s é determinada a partir da construção onde, como na analítica abordar este é inerentemente assumido que por sua vez produz as três equações lineares. Finalmente, na abordagem analítica, a solução das equações lineares pode dar negativos valores de R1 e R2. Uma vez que a ligação comprimentos d e b não pode ser negativa, d e b devem ser pensado como vectores, e quando R1, R2 π são negativos devem ser adicionados aos ângulos iniciais ψ(s), Φ(s), respectivamente.

Para projetar com maior número de pontos de precisão, Freudenstein introduziu duas novas variáveis pi e qi denotando os ângulos de rotação de posições de partida não especificado e arbitrária Φs e ψs. Definindo Φ = Φs + pi e ψ = + ψs qi, a equação (3) agora pode ser escrita como

R1 cos (Φs + pi) − R2 cos (ψs + qi) + R3 = cos[ (Φs + pi) − (ψs + qi) ], i = 1, 2, 3, 4, 5 (7)

A equação (7) acima pode ser utilizado para a síntese do ponto de quatro e cinco precisão. Em sua tese e seu papel, Freudenstein desenvolve uma solução detalhada para a geração de função com a síntese do ponto de quatro e cinco de precisão para um mecanismo de quatro ligações. Finalmente, para estender a equação para seis e sete síntese precisão de ponto, a escala Freudenstein introduziu os fatores rΦ e rψ para converter os ângulos de entrada e saída em funcionais variáveis x e y relacionadas por y = f (x), e pi e qi foram reescritos como pi = rΦ (xi - xs) e qi = rψ (yi - ys). Uma vez que os fatores de escala não são especificados, duas novas variáveis são adicionadas à equação (7) e Freudenstein poderia alcançar até sete pontos de precisão para uma função de geração de mecanismo de quatro