Funcoes de Duas ou Mais Variáveis

...

[pic 47]

LIMITE E CONTINUIDADE

LIMITES

Quando temos uma função de uma variável, há dois limites laterais em um ponto [pic 48], são eles:

[pic 49] e [pic 50]

Isto significa que podemos nos aproximar de um ponto pela direita ou pela esquerda. Dizemos que o limite existe se os limites laterais existirem e forem iguais. Mas, se a função for de duas variáveis, temos uma infinidade maneiras de aproximar-nos do ponto. Intuitivamente, dizemos que o limite existe se for o mesmo para TODOS os caminhos distintos. Abaixo, formalizaremos essa definição:

DEFINIÇÃO: Seja [pic 51] uma função de duas variáveis cujo domínio contém pontos arbitrariamente próximos de [pic 52]. Dizemos que o limite de [pic 53] quando [pic 54] tende a [pic 55] é L e escrevemos

[pic 56]

se para todo [pic 57], podemos encontrar um número [pic 58] tal que [pic 59] sempre que [pic 60] pertencer ao domínio de [pic 61] e [pic 62].

[pic 63]

TEOREMA:

- Se [pic 64] quando [pic 65], então [pic 66] quando [pic 67] ao longo de qualquer caminho contínuo que esteja situado no domínio de [pic 68].

- Se o limite [pic 69] deixar de existir quando [pic 70] ao longo de alguma curva no domínio de [pic 71], ou se [pic 72] tiver diferentes limites quando [pic 73] ao longo das curvas suaves diferentes no domínio de [pic 74], então o limite de [pic 75] não existe quando [pic 76].

CONTINUIDADE

Usando as mesmas idéias de funções de uma variável, definimos funções contínuas:

DEFINIÇÃO: Diz-se que uma função [pic 77] é contínua em [pic 78] se [pic 79]. Além disso, se [pic 80] for contínua em cada ponto de uma região R do plano xy, então dizemos quef é contínua sobre R; e se f for contínua em todo o plano xy, então dizemos que f é contínua em toda parte. Ademais, diremos que f é uma função contínua, se ela for contínua em cada ponto do seu domínio.

Exemplo de função contínua: funções polinomiais.

DERIVADAS PARCIAIS

DEFINIÇÃO:

Se [pic 81], então a derivada parcial de f em relação à x (também chamada de derivada parcial de z em relação à x) é a derivada em relação a x da função que resulta quando y é mantido fixo e x é permitido variar. Esta derivada parcial é denotada por [pic 82](ou simplesmente [pic 83]) ou [pic 84] e pode ser expressa pelo limite:

[pic 85]

Analogamente, a derivada parcial de f em relação à y (também chamada de derivada parcial de z em relação à y) é a derivada em relação a y da função que resulta quando x é mantido fixo e y é permitido variar. Esta derivada parcial é denotada por [pic 86](ou simplesmente [pic 87]) ou [pic 88] e pode ser expressa pelo limite:

[pic 89]

DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIOR

Uma vez que as derivadas parciais [pic 90] e [pic 91] são funções de [pic 92] e [pic 93], essas funções podem elas mesmas ter derivadas parciais. Isso origina quatro possíveis derivadas parciais de segunda ordem de f, as quais são dadas por:

- Derivando duas vezes em relação à x.

[pic 94]

- Derivando duas vezes em relação à y.

[pic 95]

- Derivando, primeiro em relação à y e, depois em relação à x.

[pic 96]

- Derivando, primeiro em relação à x e, depois em relação à y.

[pic 97]

Teorema: Seja f uma função de duas variáveis. Se [pic 98] e [pic 99] forem contínuas em algum disco aberto, então [pic 100] nesse disco.

Teorema: Se as derivadas parciais[pic 101] e [pic 102] existem perto do ponto (a, b) e são contínuas em (a, b), então f é diferenciável em (a, b).

DIFERENCIAIS

Para uma função de uma única variável definimos o diferencial [pic 103] como uma variável independente; ou seja, [pic 104]pode ser qualquer número real. O diferencial de y é definido como: [pic 105].

Para funções de duas variáveis, [pic 106] definimos os diferenciais [pic 107] e [pic 108] como variáveis independentes; ou seja, podem ter qualquer valor. Então o diferencial [pic 109], também chamado diferencial total, é definido por

[pic 110]

REGRA DA CADEIA

Trataremos apenas do caso onde as funções [pic 111] e [pic 112] dependem de um único parâmetro [pic 113].

TEOREMA: (Regra da Cadeia): Se [pic 114] e [pic 115] forem diferenciáveis em [pic 116] e se [pic 117] for diferenciável no ponto [pic 118] então, [pic 119] é diferenciável em t e

[pic 120]

DERIVADA DIRECIONAL E GRADIENTE DE FUNÇÕES DE DUAS VARIÁVEIS

Nosso objetivo é encontrar a inclinação de uma superfície [pic 121] em um ponto [pic 122] em uma direção especificada.

DEFINIÇÃO: Se [pic 123] for uma função diferenciável de [pic 124] e de [pic 125] e se [pic 126] for um vetor unitário, então aderivada direcional de [pic 127] na direção de [pic 128] é denotada por [pic 129] e é definida por:

[pic 130]

ou

[pic 131]

Desde que o limite exista.

Sabendo que um vetor pode ser escrito como [pic 132], onde [pic 133] é o ângulo com o eixo [pic 134] positivo, podemos escrever

[pic 135]

Se o vetor não for unitário, então fazemos a seguinte transformação

- Dado