Levantamento Topográfico - Unicamp - Trabalho Acadêmico

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Para calcular a dist^ancia di entre o teodolito e a estaca i e necessario mirar dois pontos ri e si diferentes da regua, e fazer duas leituras i e i do angulo^ zenital, que e o angulo^ medido em relac~ao a semirreta vertical que parte do centro do teodolito em direc~ao ao z^enite, o ponto da esfera celeste exatamente acima do observador (ou do teodolito, em nosso caso).

A Figura 5 mostra os quatro valores lidos no teodolito { ri, i, si e i{, bem como as medidas verticais que queremos determinar { di e hi. O desenho da esquerda corresponde a uma estaca situada em um ponto mais alto que o teodolito, enquanto a imagem da direita mostra uma estaca abaixo do n vel do teodolito.

[pic 5]

^ ^

(a) Angulo zenital menor que 90 (b) Angulo zenital maior que 90

Figura 5: Medidas verticais a serem lidas e determinadas.

O calculo de di e hi e feito de forma indireta. Primeiramente, aplicamos a lei dos senos para obter a dist^ancia qi em func~ao dos angulos^ zenitais i e i e da diferenca entre os valores lidos na regua, vi = ri si. O tri^angulo usado nesse calculo e reproduzido na Figura 6.

qi

=

vi

:

sen( i)

sen ( i i)

[pic 6]

Figura 6: Tri^angulo usado para a determinac~ao de qi atraves da lei dos senos.

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De posse dos valores de qi, si, t (altura do teodolito) e do angulo^ i, e poss vel determinar o desn vel hi entre o ponto no qual esta localizado o teodolito e a estaca i, bem como a dist^ancia di entre o teodolito e a estaca. Para tanto, usa-se os tri^angulos mostrados na Figura 7.

[pic 7]

^ ^

(a) Angulo zenital menor que 90 (b) Angulo zenital maior que 90

Figura 7: Tri^angulos usados para determinar di e hi.

Vejamos, inicialmente, como determinar di. Da Figura 7(a), conclu mos que, para i 90 ,

di = qi sen( i):

Por outro lado, a Figura 7(b) indica que, para i > 90 ,

di = qi sen (180 i) :

Felizmente, como sen(180 i) = sen( i), podemos escrever uma formula unica para a obtenc~ao de di:

di = qi sen( i):

Passemos, agora, a determinac~ao de hi. Se i 90 , a Figura 7(a) nos fornece

hi = t + wi si = t + qi cos ( i) si:

Ja se i > 90 , a Figura 7(b) nos permite escrever

hi = t wi si = t qi cos (180 i) si:

Lembrando, ent~ao, que cos(180 i) = cos( i), podemos reunir as duas formulas acima em uma so, escrevendo simplesmente

hi = t + qi cos ( i) si:

Observe, entretanto, que cos( i) i > 90 . Dessa forma, hi pode ser negativo, o que indica que ha um declive no terreno, ou seja, que o ponto do terreno em que foi ncada a estaca i esta abaixo do n vel do terreno no qual se encontra o teodolito.

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- Determinac~ao das medidas p1; : : : ; p5

Obtidas as dist^ancias d1; : : : ; d5, podemos determinar, nalmente, os comprimentos p1; : : : ; p5 dos lados do pol gono. Isso nos permite, por exemplo, obter o per metro da regi~ao, informac~ao muito util quando queremos cerca-la.

Para calcular o valor de pi, aplicamos a lei dos cossenos ao tri^angulo que tem como vertices o teodolito e as estacas i e i + 1 (usando a estaca 1 no calculo de p5). Tomando como base o tri^angulo apresentado na Figura 8, escrevemos

q

pi = d2i + d2i+1 2 di di+1 cos( i):[pic 8]

[pic 9]

Figura 8: Tri^angulo usado para determinar pi.

- Planilhas do projeto

Agora que voc^e ja sabe como obter as informac~oes necessarias para a elaborac~ao de um mapa topogra co, podemos passar ao problema pratico que sera objeto desse projeto.

Nesse semestre, como n~ao teremos tempo para efetuar as medidas em campo, suporemos que os dados do levantamento topogra co ja foram coletados. Esses dados, obtidos com um teodolito instalado a 1,36 m do ch~ao, s~ao apresentados na Tabela 1.

Tabela 1: Dados coletados no campo.

Estaca

Azimute

Leitura

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Leitura

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Angulo

Angulo

(i)

(zi)

regua 1

zenital 1

regua 2

zenital 2

(ri)

( i)

(si)

( i)

1

188,17

3,9

87,80

0,1

89,67

2

260,00

3,9

84,52

0,1

88,92

3

12,68

3,9