Trabalho de Estruturas Algebricas

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Um grupo (G,*) em que o conjunto G é finito, chama-se grupo finito. O número de elementos de G é chamado ordem do grupo (notação o (G)) e a tábua da operação * se denomina tábua de grupo, o usar da tábuas para representar grupos foi do inglês Arthur Cayley, que valorizava sobremodo os aspectos formais da matemática, também ele realizou a introdução das matrizes na matemática.

Exemplo :

É fácil verificar que G={-1,+1} é um grupo multiplicativo. Sua ordem obviamente é 2 e sua tábua:

.

1

-1

1

1

-1

-1

-1

1

Alguns grupos importantes

- Grupo aditivo dos inteiros (comutativo)

Sistema formado pelo conjunto dos inteiros e a adição usual sobre esse conjunto, no qual a adição é uma operação sobre Z, associativa e comutativa, tendo um elemento neutro para ela o número zero, o oposto - a de um elemento a ∈ Z também pertence a esse conjunto.

- Grupo aditivo dos racionais (comutativo)

Sistema formado por Q e a adição usual sobre esse conjunto. Usa-se o mesmo procedimento do exemplo anterior.

- Grupo aditivo dos reais (comutativo)

Sistema formado por ℜ e a adição usual sobre o conjunto. Usa-se o mesmo procedimento do exemplo da letra a.

- Grupo aditivo dos complexos (comutativo)

A soma de dois números complexos z=a+bi e w=c+di é definida por z+w=(a+b)+(c+d)i. Facilmente consegue verificar a associativa. O elemento neutro dessa operação verifica assim 0=0+0.i, enfim todo complexo z=a+bi, o numero complexo –z=(-a)+(-b)i é seu oposto, podendo verificar sem nenhuma dificuldade.

- Grupo multiplicativo dos racionais (comutativo)

Sistema é formado pelo conjunto dos racionais não nulo e a multiplicação usual sobre esse conjunto. A multiplicação do produto de dois números racionais não nulos também é diferente de zero. Ou seja, o elemento neutro da multiplicação é 1. O mesmo acontece com o seu inverso aˉ¹.

- Grupo multiplicativo dos reais (comutativo)

Sistema formado por ℜ∗ e a multiplicação usual sobre esse conjunto, segue a mesma regra da anterior.

- Grupo multiplicativo dos complexos (comutativo)

Sistema formado pelo conjunto C∗ e a multiplicação usual de números complexos. O produto de dois números complexos z=a+bi e w=c+di é definido por zw=(ac-bc)+ (ad+bc) i. Os dados são diferentes de 0, o mesmo acontece com o produto, como pode ser observado. Essa operação é associativa e comutativa, sua verificação ocorre através de cálculos algébricos; o elemento neutro é 1=1+0i, o seu inverso de um elemento z=a+bi, não nulo, é

zˉ¹= + i, também um número complexo não nulo, considerando que [pic 1][pic 2]

a[pic 3]

- Grupo aditivo de matrizes m x n (comutativo)

Usaremos a letra H, indistintamente, para um dos seguintes conjuntos, Z, Q, ℜ ou C, e por Mmxn(H) o conjunto das matrizes sobre H com m linhas e n colunas, Mostraremos que Mmxn (H) é um grupo aditivo, definida assim:

Se e [pic 4][pic 5]

Então:

[pic 6]

Essa matriz cumpre os axiomas da adição:

Associatividade: A+(B+C)= (A+B)+C

Comutatividade: A+B= B+A

Existência de elemento neutro: é a matriz

Omxn = [pic 7]

Existência de opostos: qualquer que seja a matriz

A= [pic 8]

Tomando-se

- A= [pic 9]

Também é uma matriz Mmxn (H), então:

A+(-A) = = Omxn[pic 10]

Portanto, (Mmxn(H), +) é um grupo abeliano quando H= Z, Q, ℜ ou C..

- Grupos lineares de grau n (multiplicativo, não comutativo se n>1.

Trataremos de um caso particular do exemplo anterior, Mn(H) é um grupo aditivo. No que diz, se refere a multiplicação de matrizes, porém a situação é diferente. Na multiplicação de matrizes a definição é: linha por colunas. Porém, para essa operação vale a associatividade. Ela conta com um elemento neutro que é a matriz idêntica de ordem n:

In= [pic 11]

Mas sempre há matrizes para as quais não há matriz inversa: a matriz nula

On = [pic 12]

Cujo produto por uma matriz qualquer é ela mesma, portanto diferente de In.

Para saber a matriz inversa recorremos ao teorema da teoria dos determinantes: “ Uma matriz A ∈ Mn (H)é inversivel, se o det (A) ≠ 0.” O conjunto das matrizes inversíveis, indicado por GLn (H), inclui a matriz idêntica In, cujo o determinante é igual a 1 e det(AB)=det (a)det(B) ≠ 0, ∀A, B ∈GLn(H), então (GLn(H, . ) é um grupo. Esse grupo não é comutativo quando n> 1.

O grupo (GLn(H), .) é chamado, grupo linear racional, real ou complexo de grau n, conforme H = Q , ℜ ou C.

Subgrupos

O grupo (R,+). Tendo Z, com um subconjunto de R para o qual valem as seguintes propriedades:

(a) Z é fechado para a adição;

(b) (Z,+), em que + indica a adição de R, restrita aos elementos de Z, também é um grupo. Dizemos que Z é um subgrupo