Aplicação das integrais na engenharia e na física

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Exercício: A porta lateral do tanque é articulada na borda inferior. Uma pressão de 100 lbf/ft2 (manométrica) é aplicada na superfície livre do líquido. Determine a força Ft necessária para manter a porta fechada.

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Solução: Aplicando os momentos em relação ao eixo x da articulação, temos:

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Este problema ilustrou a inclusão da pressão manométrica diferente de zero na superfície livre do líquido e o emprego direto do momento distribuído sem a avaliação da força resultante e sua linha de ação em separado.

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Exemplo 03: Momento de Inércia.

O momento de inércia é uma grandeza física que mede a distribuição da massa de um corpo em relação a um eixo. Quanto mais distribuída nas proximidades do eixo, mais difícil é para se rotacionar o sólido ao redor do mesmo. A expressão para o momento de inércia de uma partícula que rotaciona a uma distância R de um eixo z é:

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Exercício: Determinação dos Momentos de Inércia por Integração Dupla

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APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS EM ENGENHARIA

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Exemplo 01: MOMENTO FLETOR

É a resultante momento de todas as forças e momentos de uma porção isolada sobre a outra porção na direção transversal ao eixo da barra na seção transversal de corte. O momento fletor representa a soma algébrica dos momentos relativas a seção YX, contidos no eixo da peça, gerados por cargas aplicadas transversalmente ao eixo longitudinal. Produzindo esforço que tende a curvar o eixo longitudinal, provocando tensões normais de tração e compressão na estrutura. Em engenharias e denomina flexão ao tipo de deformação que apresenta um elemento estrutural alongado em uma direção perpendicular ao seu eixo longitudinal. O termo "alongado" se aplica quando uma dimensão que é dominante frente às outras. Um caso típico são as vigas, as que estão projetadas para trabalhar, principalmente, por flexão. Igualmente, o conceito de flexão se estende a elementos estruturais superficiais como placas ou lâminas.

APLICAÇÃO DO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NO CÁLCULO DE VIGAS

Supondo-se uma viga de 10 metros de comprimento, apoiada em suas duas extremidades, e uma força aplicada uniformemente em sua extensão de 40 N/m, temos:

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Para calcular o momento fletor e o esforço cortante, devemos calcular as forças de reação em Ay e By. Para tal, podemos transformar a carga distribuída em uma força concentrada aplica dano centro da viga, neste caso, como a força é distribuída uniformemente sobre a viga, podemos resolver isso multiplicando a força aplicada pelo comprimento da viga, obtendo assim 400 N/m aplicado em x = 5 m. Como existe simetria no problema, temos Ay = By = 200N

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Exemplo 02:

Supondo-se que um arquiteto projetou uma viga com seção transversal como apresentada na Figura 3 (Adaptado de BEER et al., 2006, p.245) com o intuito de ter essa viga, além da função estrutural, também a função de escoamento de água da chuva do telhado de uma casa. Sabendo-se que essa barra está sujeita a um carregamento transversal proveniente do peso próprio da viga e do peso na água que pode estar sobre ela, procederemos ao cálculo das características geométricas desta seção necessárias para o seu posterior dimensionamento. Observem que todo o cálculo dessas características será feito de forma genérica (sem a utilização de valores fixos), pois no dimensionamento de estruturas desse tipo se faz necessário muitas vezes adequar as dimensões da seção transversal para se ter um melhor dimensionamento da estrutura como um todo, inclusive com o teste de materiais diferentes e com resistências mecânicas diferentes.

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Para a determinação da área da seção será utilizado a equação

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Exemplo 03: Dando continuidade ao exemplo 02, Para a determinação dos momentos de primeira ordem serão utilizadas as equações

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CONCLUSÃO

Através deste trabalho podemos ver a importância da aplicação das integrais nas mais diversas áreas da engenharia, e em muitos outros campos. Podemos perceber que ela está presente em todo momento em nossas vidas, seja na construção de uma ponte, ou até mesmo em um simples cálculo de área. Durante os outros semestres, passamos por várias etapas até chegarmos nas integrais, e hoje podemos perceber que tudo aquilo era uma preparação para o que está por vir, onde finalmente poderemos entender onde iremos utilizar os cálculos no nosso dia a dia como engenheiros civis.

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BIBLIOGRAFIA

BEER, F. P.; JOHNSTON, R.; EISENBERG, E. R. Mecânica Vetorial Para Engenheiros – Estática. 7.ed., Pearson Education, 2006.

FIGUEIREDO,