Uma Pesquisa Operacional

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• Rendimento devido à venda de armário:

1000 x - rendimento por unidade de armário vendido x quantidade de armário produzido.

• Rendimento devido à venda de cadeira:

500 y - rendimento por unidade de cadeira vendida x quantidade de cadeira produzida.

• Rendimento total obtido com as vendas:

Z = 1000 x + 500 y

Objetivo: Maximizar Z = 1000 x + 500 y

c) Quais as Restrições?

As restrições impostas pelo sistema são:

• Disponibilidade de mão-de-obra para a produção: 8h

♦Mão-de-obra necessária para produzir armários:

2x - mão-de-obra necessária para produzir um armário x quantidade de armário produzido.

♦Mão-de-obra necessária para produzir cadeiras:

4y - mão-de-obra necessária para produzir uma cadeira x quantidade de cadeira produzida.

►Total de mão-de-obra necessária para a produção: 2x + 4y

Resttrição descritiva da situação: 2x + 4y≤ 8

• Disponibilidade de madeira para a produção: 24 m2

♦Madeira necessária para produzir mesas:

12x - madeira necessária para produzir um armário x quantidade de armário produzido.

♦Madeira necessária para produzir cadeiras:

2y - madeira necessária para produzir uma cadeira x quantidade de cadeira produzida.

►Total de madeira necessária para a produção: 12x + 2y

Restrição descritiva da situação: 12x + 2y≤ 24

Restrições Implícitas

Como as quantidades a produzir de armário e cadeira devem ser positivas ou nulas, temos as seguintes restrições de não-negatividade:

x≥0 - quantidade a produzir de armário deve ser maior ou igual a zero;

y≥0 - quantidade a produzir de cadeira deve ser maior ou igual a zero;

Modelo Matemático

Max Z= 1000 x + 500 y (Função Objetivo)

Sujeito a

2x + 4y≤ 8 (Restrições técnicas)

12x + 2y≤ 24

x , y ≥0 (Restrições de não-negatividade)

Equação 1

2x + 4y = 8

4y = 8 – 2x

y = (8-2x)/4

Equação 2

12x + 2y = 24

2y = 24 – 12x

y = (24-12x)/2

Gráfico utilizando o aplicativo Winplot:

[pic 2]

Equação 1

y = (8-2x)/4

x

y

0

2

4

0

Equação 2

y = (24-12x)/2

x

y

0

12

2

0

Achando o valor de x e y:

Substituindo y na primeira equação, teremos:

2x + 4y = 8

2x + 4(24-12x)/2 = 8

2x + 2(24-12x) = 8

2x + 48 – 24x = 8

2x – 24x = 8 – 48

-22x = -40

X= 40/22

X= 20/11= 1,81

Substituindo na Equação 2

2x + 4y = 8

2(20/11) + 4y = 8

40/11 + 4y = 8

4y = 8 – 40/11

4y = (88 – 40)/11

4y = 48/11

Y= (48/11)/4 Y= 48/44 Y= 12/11= 1,09

Substituir x e y na Função Objetivo:

Max Z= 1000 x + 500 y

Max Z = 1000 * (20/11) + 500 * (12/11)

Max Z = 20000/11 + 6000/11

Max Z = (20000 + 6000)/11

Max Z = 26000/11= R$ 2363,63

Resposta pelo Método Gráfico

Max Z = 1000 x + 500 y

Substituir pelos principais pontos ( par ordenados ) da figura hachurada:

P1 ( 0 , 0 )

P2 ( 2 , 0 )

P3 ( 0 , 2 )

P4 ( 20/11 , 12/11 )

1000

x

+

500

y