Aulas pesquisa operacional

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Quando o sistema possui infinitas soluções, significa que as equações são representadas por retas paralelas e coincidentes.

NP1 - Aula 3 - 12/08/2015

quarta-feira

NP1 - Aula 4 - 14/08/2015

sexta-feira

QUESTÃO DE PROVA:

Função objetivo: 80x + 60y

Maximizar 80x + 60y

Sujeito a

4x +6y ≤ 24

4x + 2y ≤ 16

0x + 1y ≤ 3

x ≥ 0 ; y ≥ 0

Resolvendo a primeira equação de restrição:

6y ≤ -4x + 24 ⇒ y ≤ -4x/6 + 24/6 ⇒ y ≤ -2x/3 + 4 ou seja, para x = 0, y = 4 e para y = 0, x = 6

y ≤ -2x/3 + 4 ⇒ 0 ≤ -2x/3 + 4 ⇒ 2x/3 ≤ 4 ⇒ 2/3 . x ≤ 4 ⇒ x ≤ 4. 3/2 ⇒ x ≤ 12/2 ⇒ x ≤ 6

desenhando a reta no gráfico:

[pic 1]

resolvendo a segunda equação de restrição:

4x + 2y ≤ 16 ⇒ 4x + 2y = 16 ⇒ 2y = 16 - 4x ⇒ y = -4x/2 + 16/2 ⇒ y = -2x + 8

para x = 0, y = 8

para y = 0

0 = -2x + 8 ⇒ 2x = 8 ⇒ x = 8/2 ⇒ x = 4

desenhando no gráfico:

[pic 2]

resolvendo a terceira equação de restrição:

0x + 1y ≤ 3 ⇒ y ≤ 3, ou seja, para qualquer valor assumido por x, y sempre será menor ou igual a 3.

Desenhando no gráfico:

[pic 3]

representando as três retas de restrição no gráfico:

[pic 4]

Ponto? NÃO! Agora precisamos encontrar o ponto ótimo.

O ponto ótimo, que é a resolução do problema, se encontra em um ponto no extremo da região permissível final. Para encontrá-lo, precisamos encontrar as coordenadas de todos os pontos extremos da área permissível final. Ou seja, precisamos encontrar as coordenadas dos pontos P, Q, R, S e T.

P (0 , 0)

Q (4 , 0)

R (ponto que atende simultaneamente as equações restritivas 1 e 2)

S (ponto que atende simultaneamente as equações restritivas 1 e 3)

T (0 , 3)

Encontrando as coordenadas de R:

4x + 6y = 24

4x + 2y = 16

método da subtração:

4y = 8 ⇒ y = 8/4 ⇒ y = 2

substituindo y: 4x + 6y = 24 ⇒ 4x + 6.2 = 24 ⇒ 4x = 24 – 12 ⇒ x = 12/4 ⇒ x = 3

R (3 , 2)

Encontrando as coordenadas de S:

4x + 6y = 24

0x + 1y = 3, ou seja, y = 3

substituindo y: 4x + 6.3 = 24 ⇒ 4x = 24 - 18 ⇒ x = 6/4 ⇒ x = 3/2

S (3/2 , 3)

Pronto? NÃO!

Encontramos todas as coordenadas do pontos possíveis de conter a solução, agora precisamos analisar qual dos pontos é o ponto ótimo:

P (0 , 0)

Q (4 , 0)

R (3 , 2)

S (3/2 , 3)

T (0 , 3)

Nossa função objetivo é quem vai determinar qual o melhor ponto. O ponto ótimo. Para isto, substituímos cada coordenada de cada ponto na função objetivo: 80x + 60y.

P (0 , 0): 80.0 + 60.0 ⇒ P:0

Q (4 , 0): 80.4 + 60.0 ⇒ Q:320

R (3 , 2): 80.3 + 60.2 ⇒ R:360

S (3/2 , 3): 80.3/2 + 60.3 ⇒ S:300

T (0 , 3): 80.0 + 60.3 ⇒ T:180

Sendo assim, nosso ponto ótimo é R, pois apresenta melhor resultado quando aplicado na função objetivo, ou seja, é o ponto que mais maximiza esta função.

NP1 - Aula 5 - 19/08/2015

quarta-feira

Resolução do exercício da aula anterior.

PROBLEMAS DE MINIMIZAÇÃO

Granja produz ração a partir de dois alimentos: A e B. Cada alimento é composto por insumos X, Y e Z. Deseja-se encontrar o menor custo da composição para a ração.

Alimento A, cada 100g possui 10g de X, 40g de Y e 50g de Z, custava R$0,60

Alimento B, cada 100g possui 20g de X, 60g de Y e 20g de Z, custava R$0,80

A ração final contém os alimentos A e B e deveria conter 2g de X, 64g de Y e 34g de Z

Função objetivo = 0,6A + 0,8B

Como teremos porções muito pequenas de insumos (2g de X, por exemplo) fica mais fácil se igualarmos as unidades, ou seja:

Função Objetivo ajustada = 0,006A + 0,008B

Primeira Restrição:

0,1X + 0,2Y ≥ 2

Segunda Restrição:

0,4X + 0,6Y ≥ 64

Terceira Restrição: