A Física Experimental B

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Para medir a constante de indutiva do circuito, usamos o tempo de meia vida T1/2, que é o tempo no qual a corrente ( ou a tensão em R ) cai pela metade do seu valor inicial:

VR (T1/2) = Vo exp(-RT1/2 / L ) = Vo/2 ou exp(-R T1/2 /L ) = ½

Aplicando ln na equação acima, tem-se

ln { exp (-R T1/2 / L ) } = ln ½,

Que fornece: T1/2 = L / R ln 2 ou T ½ = τ ln2 =====> meia vida do circuito

Cicruito Ligado a corrente alternada

Vamos supor agora que a tensão pulsada é substituída por uma tensão alternada. A lei de Kirchhoff aplicada no circuito fornece:

Como a tensão no gerador Vg é uma função senoidal, vamos usar para resolver a equaçÃo acima, a corrente no circuito como sendo:

I = Io sen wt

a tensão no gerador como sendo:

Vg = Vo sen (wt + Φ)

Substituindo I e Vo na equação (1) temos:

Vo sen (wt + Φ) = RIo sen wt + LwIo cos wt

Para obtermos os valores de Io, Vo e Φ utilizamos o mesmo procedimento usado para o filtro RC, obtendo

sen wt(Vo cos Φ - RIo) + cos wt (Vo sen Φ - LwIo) = 0

É fácil verificar que a relação acima é válida desde que os termos entre parênteses sejam nulos. Temos então:

V0 cos Φ = RIo (2)

Vo sen Φ = LwIo (3)

o valor de Φ é obtido dividindo-se (3) po (2)

tan Φ = Lw/R ou Φ = arctan Lw / R (4)

o valor de Io é obtido elevando-se (2) e (3) ao quadrado e somando-se a seguir

Vo2 (cos2 Φ + sen2 Φ ) = (R2+(Lw)2)Io2

mas (cos2 Φ + sen2 Φ) = 1, então

Io2 = Vo2 / (R2+(Lw)2) ou Io = Vo / (R2 + (wL)2)1/2 (4)

Io é a amplitude ( ou valor máximo ) da corrente e Vo é a amplitude da tensão no gerador.

No que (wL) tem a dimensÃo de resistência (omega) e recebe o nome de Reatância Indutiva e é análoga à resistência dos circuitos de corrente contínua, no entanto depende da frequência:

XL = wL

Φ recebe o nome de fase e representa a defasagem no tempo entre a corrente no circuito e a tensão aplicada. Como a tensão no resistor é diretamente proporcional à corrente I então Φ pode ser visto como a defasagem no tempo entre a tensão VL e a tensão aplicada Vg.

A tensão no resistor VR é dada por:

VR = RI = RIo sen wt

e o valor de pico da tensão no resistor pode ser calculado então, usando eq. 4

VR = RIo = VoR / (R2 + (wL)2)1/2

A tensão no indutor VL é dada por:

VL = LdI / dt = wLIo cos wt= wLIo sen (wt + π/2) (6)

O valor de pico da tensão no indutor pode ser calculado então usando a eq. 4

VL = Vo w(L/(R2 + (wL)2)1/2) = Vo/(R/(wL)2 + 1) 1/2

Quando w tende para 0 temos VR = Vo, VL = 0 e Φ = 0

Quando w tende para infinito temo VR = 0, VL = Vo e Φ = π/2

Note que pelas eq. 5 e 6 que VR e VL estão sempre defasados de π/2. Das equações 2, 3, 5 e 6 também se observa que o ângulo de defasagem ΦR entre a tensão no gerador e a tensão no resistor é dado por:

ΦR = -arccos (VR/Vo)

e que o ângulo de defasagem ΦC entre a tensão no gerador e a tensão no capacitor é dado por:

ΦL = arc cos (VL/Vo)

lembrando que VR, VL e Vo sÃo valores de pico das tensões.

Existe uma frequência chamada frequência de corte, na qual a tensão no indutor é igual à tensão no resistor:

VR(wc) = VL(wc)

usando as expressões de VL e VR temos:

VoR/ (R2 + (wL)2)1/2 = Vo / (R/(wL)2 + 1) 1/2

Chamando de wc a frequência de corte e resolvendo a igualdade acima temos:

wc = r/L ou

usando a relação entre frequência e frequência angular f = (w/2pi), temos:

fc = R/ (2πL)

Substituindo a expressão de fc em VL(wc) = VR(wc), temos:

VL(wc) = VR(wc) = Vo / 21/2 = 0,707Vo

Procedimento experimental

[pic 5]

Montou-se o circuito da figura acima usando R = 47 Ω (46,3 Ω), C = 22 nF e L = 11 mH com uma tensão de saída no gerador foi de 1 V pico a pico.

Para o circuito montado, manteve-se um multímetro ligado diretamente na saída do gerador para medir a freqüência do sinal;

Conectou-se o osciloscópio de modo a medir, no canal 1, a tensão do gerador e, no canal 2, a tensão no resistor. O osciloscópio foi ajustado de modo a possibilitar a visualização simultânea dos dois canais na tela.

Sabendo-se que existe uma tensão máxima no resistor, a freqüência foi variada até atingindo este valor e então esta freqüência foi anatoda a freqüência no gerador até observar que a tensão no resistor atinge um valor máximo. Esta é a freqüência de ressonância do circuito. Anotamos este valor;

Fizemos, então, uma tabela com, aproximadamente, 25 pontos da tensão no resistor em função da freqüência, a partir de valores abaixo da freqüência de ressonância até valores de freqüência acima desta;

Após,