APLICAÇÕES DE MÉTODOS NUMÉRICOS NA ENGENHARIA

...

x1 + 450 = x2 + 610 (cruzamento A)

Analogamente:

x2 + 520 = x3+ 480 (cruzamento B)

x3+ 390 = x4 + 600 (cruzamento C)

x4+ 640 = x1 + 310 (cruzamento D)

Têm-se então, o sistema:

x1 - x2 = 160

x2 - x3 = - 40

x3 - x4 = 210

x4 - x1 = - 330

Para resolução desse sistema linear encontrado na questão, podemos utilizar alguns dos métodos numéricos conhecidos, como o da eliminação de Gauss (escalonamento), decomposição em LU por Crout. Contudo, o método do escalonamento se torna o mais eficaz para o engenheiro fazer o cálculo à mão, pois conseguimos encontrar a resposta em apenas duas interações.

Método de Gauss

Para o método de Gauss, encontramos a matriz aumentada do sistema:

[pic 16]

Após escalonar, temos:

[pic 17]

Assim, chegamos solução geral do sistema: (330 + x4, 170 + x4, 210 + x4, x4).

Fatoração LU por Crout

Para o método de LU e de crout, temos a matriz A (tirada do sistema), a matriz B, a matriz X, a matriz U (triangular superior obtida pelo escalonamento) e a matriz L (triangular inferior, obtida através dos multiplicadores da matriz U):

[pic 18]

Após fazer todos os processos do método, encontramos a mesma solução geral. Como encontramos uma solução com uma variável livre, existem infinitas soluções, pois no fluxograma (Figura 1) não possui todas as informações suficientes para determinar x1, x2, x3, x4. Sendo assim, basta que saibamos qualquer número de veículos entre dois cruzamentos e o tráfego nos outros cruzamento estará determinado. Por exemplo, se uma média de 200 carros trafegam por hora entre os cruzamentos C e D, então x4 = 200. Logo encontraremos os valores de x1, x2 e x3 em função de x4, obtendo x1 = 530, x2 = 370, x3 = 410.

Treliças

Na construção civil, têm-se essas importantes estruturas compostas por unidades triangulares construídas de elementos retos feitos de madeira, aço ou outro, dependendo da aplicação. Tais estruturas são essenciais para sustentação assim como as vigas, podendo, porém, vencer alturas e vãos bem maiores. [pic 19]

Dessa forma, dimensionar treliças está escrito na rotina de todo engenheiro estrutural. Por isso, a aplicação de métodos que viabilizem a resolução mais acelerada dessas estruturas é uma grande motivação para a aplicação computacional dos cálculos numéricos.

Partindo do seguinte exemplo, pode-se ver que o dimensionamento de uma treliça planar requer a análise individual dos nós e o somatório de forças.[pic 20]

Ponto F

[pic 21]

[pic 22]

Ponto G

[pic 23]

[pic 24]

Ponto H

[pic 25]

[pic 26]

Ponto B

[pic 27]

[pic 28]

Ponto C

[pic 29]

[pic 30]

Ponto D

[pic 31]

[pic 32]

Do sistema formado pelas equações obtidas, pode-se afirmar que se tem o dobro do número de nó da estrutura e partir do sistema obtém as seguintes matrizes.[pic 33]

[pic 34]

Os dados obtidos são lançados então nos códigos para resolução de sistemas lineares pelos dois métodos estudados aqui: Gauss por pivotação e Decomposição LU por Crout.

Para o primeiro exemplo, temos o código de MatLab a seguir:

function x=GaussPivot(a,b)

a=[1 0 -0.8 -1 0 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0.6 0 -1 0 0 0 0 0 0 0;

0 0 0 1 0 0 0 -0.8 -1 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 -1 0.6 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 1 -0.8 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.6 -1 0;

0 -1 0 0 0 1 0 0.8 0 0 0 0;

0 0 0 0 1 0 0 -0.6 0 0 0 0;

0 0 0 0 0 1 0 0 0 -0.8 0 1;

0 0 0 0 0 0 1 0 0 -0.6 0 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0;

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1];

b=[0;3;0;3;0;3;0;0;0;0;0;0];

ab=[a,b];

[R,C]=size(ab);

for j=1:R-1

if ab(j,j)==0

for k=j+1:R

if ab(k,j)~=0

abTemp=ab(j,:);

ab(j,:)=ab(k,:);

ab(k,:)=abTemp;

break

end

end

end

for i=j+1:R

ab(i,j:C)=ab(i,j:C)-ab(i,j)/ab(j,j)*ab(j,j:C);

end

end

x=zeros(R,1);

x(R)=ab(R,C)/ab(R,R);