UNIVERSIDADE DO ESTADO DO AMAZONAS ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA – EST

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Este é um exemplo onde se tem uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, porém não linear, pois temos um termo . Para facilitar o entendimento, poder-se ia reescrever esta equação detalhando todas as combinações aditivas.[pic 3]

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Observa-se que dentre os coeficientes existe um que é outra variável . Por esta razão ela é não linear, e de segunda ordem, pois se refere à ordem da derivada de mais alta ordem da equação.[pic 5]

Explanação de Exercícios

Classificar as equações diferenciais abaixo como equação diferencial ordinária (EDO) ou equação diferencial parcial (EDP), dê a ordem e indique as variáveis independentes e dependentes. Se a equação for diferencial ordinária, indique se a equação é linear ou não linear.

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Solução: A equação (1) é uma diferencial ordinária (EDO), pois envolve apenas derivadas comuns com relação a uma única variável independente. Neste exemplo ainda temos que a variável dependente é y e a variável independente é x. É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, pois é a mais alta ordem das derivadas que nela estão presentes. E por fim, é uma equação ordinária de segunda ordem com variável dependente y e variável independente x do tipo não linear. Pois observamos que existe o termo 2y com outra variável distinta que não a de x. A equação é denominada de equação de Hermite, oscilador harmônico quântico-mecânico.

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Solução: A equação (2) é uma diferencial parcial (EDP), pois envolve derivadas comuns com relação a mais de única variável independente. Neste exemplo ainda temos que a variável dependente é u e as variáveis independentes são x e y. É uma equação diferencial parcial de segunda ordem, pois é a mais alta ordem das derivadas que nela estão presentes. A equação acima é de Laplace, teoria do potencial, eletricidade, calor, aerodinâmica.

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Solução: A equação (3) é uma diferencial ordinária (EDO), pois envolve apenas derivadas comuns com relação a uma única variável independente. Neste exemplo ainda temos que a variável dependente é y e a variável independente é x. É uma equação diferencial ordinária de segunda ordem, pois é a mais alta ordem das derivadas que nela estão presentes. E por fim, é uma equação ordinária de segunda ordem com variável dependente y e variável independente x do tipo não linear. Pois observamos que existe o termo xy com outra variável distinta que não a de x. A equação é denominada de aerodinâmica, análise de estresse.

- Soluções e problemas de valor inicial

Uma equação diferencial ordinária de ordem n é uma igualdade que relaciona a variável independente a n-ésima derivada (e em geral também às derivadas de ordem inferior) da variável dependente.

Exemplos:

- (Segunda Ordem, t independente, y dependente).[pic 9]

- (Quarta Ordem, t independente, x dependente).[pic 10]

De forma geral, para uma equação de ordem n com x independente, y dependente, pode ser expressa como:

- a ordem n; ou seja depende de x,y,...,. Considerando-se que a equação se aplica para todo x no intervalo aberto I (a, onde a ou b poderiam ser infinitos).[pic 11][pic 12][pic 13]

Explanação de Exemplo

Mostre que é uma solução explícita para a equação linear .[pic 14][pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

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Substituindo as derivadas na equação linear, ter-se-ia o seguinte:

.[pic 19]

(=[pic 20][pic 21]

[pic 22]

Isso é válido para qualquer x, logo a função é uma solução explícita para em ([pic 23][pic 24][pic 25][pic 26]

Explanação de Exercício:

- Mostre que é uma solução explícita para .[pic 27][pic 28]

Solução: [pic 29]

[pic 30]

[pic 31]

Substituindo as derivadas na equação, temos:

[pic 32]

[pic 33]

[pic 34]

Essa solução é válida para qualquer x, logo a função