ACULDADE DE COMPUTAÇÃO E ENGENHARIA ELÉTRICA CURSO DE ENGENHARIA DA COMPUTAÇÃO

...

Representaremos por: .[pic 25][pic 26]

Portanto, obter significa obter os coeficientes Da condição 0,1,2,...,n montamos o seguinte sistema linear:[pic 27][pic 28][pic 29]

[pic 30]

Com e variáveis: . [pic 31][pic 32][pic 33]

Na notação matricial temos V x a = f, onde:

V a e f [pic 34][pic 35][pic 36]

A matriz V é uma matriz de Vandermonde e, portanto desde que sejam pontos distintos temos det (V)=0. Logo, o sistema acima admite uma única solução. A matriz coluna a é a matriz das incógnitas e a matriz coluna f é a das constantes f(xi) = yi.[pic 37]

Desde modo é possível demonstrar o seguinte teorema em que: Existe um único polinômio , de grau tal que: desde que .[pic 38][pic 39][pic 40][pic 41]

Assim nota-se que o polinômio que interpola f(x) em, é único. Porém, há várias maneiras para obter este polinômio. Uma das abordagens é a resolução do sistema linear obtido anteriormente. Outras formas como Lagrange e de Newton serão apresentadas posteriormente. As três formas acarretam ao mesmo polinômio e a escolha entre esses métodos dependerá da estabilidade do sistema linear ou/e do tempo computacional dentre outras variantes.[pic 42][pic 43]

3.1 INTERPOLAÇÃO LINEAR

Sejam dois pares ordenados e , com de uma função Para obter-se uma aproximação de f(x’), x’ faz-se a seguinte aproximação:[pic 44][pic 45][pic 46][pic 47][pic 48][pic 49]

[pic 50]

Onde é um polinômio interpolador de 1º ordem, ou seja, de grau 1. Estabelecendo que o polinômio interpolador passe pelos 2 pares ordenados, obtém-se o seguinte sistema de equações lineares de 2º ordem: [pic 51]

→ [pic 52][pic 53]

Ou em fora de matriz, Obtém-se:

[pic 54]

Transformando o sistema linear acima em um sistema triangular equivalente, Obtém-se:

→ → [pic 55][pic 56][pic 57]

Cuja solução é dada por:

e [pic 58][pic 59]

Logo o polinômio interpolador pode ser escrito da seguinte forma:

[pic 60]

Ou efetuando algumas substituições de fácil dedução, obtém-se uma forma adequada:

[pic 61]

Como o determinante da matriz do sistema linear acima é igual a , então o sistema admite uma única solução, isto é, por dois pontos passa um único polinômio interpolador de 1º grau.[pic 62]

Exemplo 1:

Calcular e a partir dos pontos abaixo:[pic 63][pic 64]

[pic 65]

0

1

[pic 66]

0.1

0.6

[pic 67]

1.221

3.320

[pic 68]

Nesse caso a formula geral será:

[pic 69]

Inserindo os valores dados dos pontos na formula acima, obtém-se:

[pic 70]

Então para os pontos 0.2 e 0.3 teremos os valores do polinômio abaixo:

[pic 71]

[pic 72]

4. REFERENCIA

FERREIRA, José Álvaro Tadeu. Cálculo Numérico: Notas de aulas. Interpolação Polinomial. Disponível em: http://www.decom.ufop.br/bcc760/material_de_apoio/notas_de _aulas/notas_interpolacao.pdf. Acessado em 01 de dezembro de 2016.

RUGGIERO, M.A.G. & LOPES, V.L.R. Cálculo Numérico Aspectos Teóricos e Computacionais. 2 Ed. Makron Books: São Paulo, 1997.

SENA, G. J. Computação e Cálculo Numérico: Elementos de Cálculo Numérico. Disponível em: http://www.feg.unesp.br/~gsena/Disciplinas/CN_LicMatematica_2008/ Após tila/Ap_CN_2oSem_2007_Interpolacao.pdf. Acessado em 01 de dezembro de 2016.

PILLING, Sergio. INTERPOLAÇÃO NUMERICA, Disponível em: http://www1. univap.br/spilling/CN/CN_Capt4.pdf. Acessado