MECÂNICA – CINEMÁTICA E DINÂMICA

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- [pic 41]

- Neste caso a distância total percorrida é 10,4 km mais os 2,0 km da volta, então temos 12,4 km.

O tempo gasto é 0,62 h mais 0,75 h da volta, então temos 1,37 h.

[pic 42]

Velocidade Instantânea e Velocidade escalar Instantânea

A velocidade em um dado instante é obtida a partir da velocidade média reduzindo o intervalo de tempo até torna-lo próximo de zero. À medida que diminui, a velocidade média se aproxima de um valor limite, que é a velocidade instantânea : [pic 43][pic 44][pic 45]

(Equação 4)[pic 46]

é a taxa de com a qual a posição está variando com o tempo em um dado instante, ou seja, é a derivada de em relação a . A velocidade instantânea também é uma grandeza vetorial e, portanto, possui uma direção e um sentido.[pic 47][pic 48][pic 49][pic 50][pic 51]

Velocidade escalar instantânea, ou simplesmente velocidade escalar, é o módulo da velocidade, ou seja, a velocidade desprovida de qualquer indicação de direção.

EXEMPLO

A posição de uma partícula que se move em um eixo é dada por[pic 52]

[pic 53]

Com em metros e em segundos. Qual é a velocidade da partícula em t = 3,5 s? A velocidade é constante ou está variando continuamente?[pic 54][pic 55]

SOLUÇÃO

[pic 56]

(1)[pic 57]

Com , tem-se[pic 58]

[pic 59]

m/s[pic 60]

Devido ao sinal negativo da resposta, a partícula está se movendo no sentido negativo, e como a variável aparece na equação (1) a velocidade está variando continuamente.[pic 61]

Aceleração

Quando a velocidade de uma partícula varia, diz-se que a partícula sofreu uma aceleração. Para movimentos ao longo de um eixo, a aceleração média em um intervalo de tempo é[pic 62][pic 63]

(Equação 5)[pic 64]

onde a partícula em velocidade no instante e velocidade no instante . A aceleração instantânea (ou simplesmente aceleração) é dado por[pic 65][pic 66][pic 67][pic 68]

(Equação 6)[pic 69]

Em palavras a aceleração de uma partícula em qualquer instante é a taxa com a qual a velocidade está variando nesse instante. Combinando a equação da aceleração com a equação da velocidade temos:

(Equação 7)[pic 70]

A aceleração de uma partícula em qualquer instante é a derivada segunda da posição em relação ao tempo.[pic 71]

A unidade de aceleração no SI é o metro por segundo ao quadrado, . A aceleração possui um módulo e uma direção (é uma grandeza vetorial). O sinal algébrico representa seu sentido em relação ao eixo. [pic 72]

EXEMPLO

A posição de uma partícula no eixo x é dada por

[pic 73]

com x em metros e t em segundos. Como a posição x depende do tempo t, a partícula deve estar em movimento. Determine a função velocidade v(t) e a função aceleração a(t) da partícula.

SOLUÇÃO

Para obter a função velocidade v(t) deriva-se a função posição x(t) em relação ao tempo.

[pic 74]

com v em metros por segundo.

Para obter a função aceleração a(t) deriva-se a função velocidade v(t) em relação ao tempo.

[pic 75]

com a em metros por segundo ao quadrado.

Movimento Retilíneo Uniformemente Variado

Aceleração constante

Em muitos tipos de movimento, a aceleração é constante ou aproximadamente constante. Quando a aceleração é constante, a aceleração média e a aceleração instantânea são iguais, e podemos escrever a Equação 5, com algumas mudanças de notação, na forma

[pic 76]

onde é a velocidade no instante e é a velocidade em um instante de tempo posterior . Explicitando tem-se:[pic 77][pic 78][pic 79][pic 80][pic 81]

(Equação 8)[pic 82]

De maneira análoga podemos escrever a Equação 2, com algumas mudanças de notação, na forma

[pic 83]

o que nos dá

(Equação 9)[pic 84]

onde é a posição da partícula em e é a velocidade média entre e um instante posterior.[pic 85][pic 86][pic 87][pic 88][pic 89]

Para a função velocidade linear da Equação 8, a velocidade média em qualquer intervalo de tempo é a média aritmética da velocidade no início do intervalo () com a velocidade no final do intervalo (). Para o intervalo de até um instante posterior , portanto a velocidade média é [pic 90][pic 91][pic 92][pic 93]

) (Equação 10)[pic 94]

Substituindo pelo seu valor, dado pela Equação 8, obtemos agrupando os termos,[pic 95]

(Equação 11)[pic 96]

Finalmente, substituindo a Equação 11 na Equação 9, obtemos:

(Equação 12)[pic 97]

As equações 8 e 12 são as equações básicas do movimento com aceleração constante. Entretanto, é possível deduzir outras equações. As equações 8 e 12 contêm, cada uma, quatro grandezas, mas não as mesmas quatro. As duas equações também podem ser combinadas de três formas diferentes para produzir três novas equações, cada uma das quais envolve quatro grandezas diferentes. Eliminando , se obtém:[pic 98]