As Mecânicas dos Fuídos

...

- Utilizando as equações da camada limite, mostre que

[pic 15],

em que v0 é a velocidade de aspiração na placa (constante segundo x e negativa).

- Calcule as espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento.

(R: -ν/v0 e -2ν/v0 , note que como v0 é negativo o resultado vem positivo)

- Calcule a resistência da placa (considere apenas uma das faces da placa e que esta tem um comprimento L). (R: -ρUv0L)

NOTAS

- A camada limite é a região do escoamento onde se fazem sentir efeitos viscosos, isto é, onde [pic 16]. Por definição corresponde à região onde a velocidade do fluido é inferior a 99% da velocidade não-perturbada (ou velocidade exterior) U. Doutra forma é a região 0δ, sendo δ, tal que y(δ)=0,99U, designada por espessura da camada limite. Acima, y representa a distância à placa.

- A camada limite diz-se delgada se δ(x)x, em que x é a direcção tangente à placa. Nestas condições as linhas de corrente são quase paralelas à placa e [pic 17].

- As equações da camada limite delgada são:

- Equação da continuidade: [pic 18]

- Equação da quantidade de movimento: [pic 19]

em que pe é a pressão exterior à camada limite.

- Por definição a espessura de deslocamento é [pic 20]. A espessura de deslocamento é também representada por δ*.

- Por definição a espessura de quantidade de movimento é [pic 21]. A espessura de deslocamento é também representada por θ.

METODOLOGIA

- Para resolver a alínea a) simplifique a equação da continuidade e conclua que a velocidade do fluido v é constante e igual a v0 em todo o escoamento; seguidamente simplifique a equação da quantidade de movimento e, depois, integre-a obtendo o perfil de velocidades. Para a integrar utilize o método de separação de variáveis e note que

[pic 22].

Finalmente utilize as condições fronteira apropriadas em y=0 e y=∞.

- Para calcular as espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento basta utilizar as definições e o perfil de velocidades deduzido.

- A força de resistência resulta da acção da tensão de atrito na placa. Para a obter é necessário calcular a tensão de corte na parede e integrar ao longo do comprimento da placa.

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Fluid Flow 8.6

Calcule a tensão de corte na placa, a espessura da camada limite e a resistência total num dos lados de uma placa plana de comprimento l, admitindo que a camada limite é laminar em toda a placa, tomando as seguintes aproximações para o perfil de velocidades: i) sinusoidal; ii) parabólico; iii) linear. Compare com os resultados obtidos através da solução exacta de Blasius e conclua. Usando os resultados obtidos para um perfil sinusoidal, calcule os valores numéricos da resistência total e espessura da camada limite no fim da placa para uma placa com 0,3 m de largura e 0,3 m de comprimento imersa num escoamento de água a 20º (ρ=1000 kg/m3, μ=1,13×10-3 Pa.s) se U=7 m/s .

(R: i) [pic 23], [pic 24], [pic 25]

ii) [pic 26], [pic 27], [pic 28]

iii) [pic 29], [pic 30], [pic 31]

D=0,066 N, δ=3,3 mm.)

NOTAS

- Como se mostra no Fluid Flow, admitindo que o perfil de velocidades é expresso por [pic 32] obtêm-se os seguintes resultados para uma camada limite laminar:

[pic 33], [pic 34] e [pic 35]

em que

[pic 36] e [pic 37]

- O perfil de velocidades aproximado tem que respeitar as seguintes condições: u(0)=0 e u(δ)=U, pelo que vem [pic 38] no caso do perfil sinusoidal, [pic 39]no caso do perfil parabólico e [pic 40] no caso do perfil linear.

- Os valores que se obtêm da solução exacta de Blasius são os seguintes:

[pic 41], [pic 42] e [pic 43]

METODOLOGIA

- Comece por calcular os valores de β e a para cada um dos perfis indicados.

- Utilize as expressões genéricas indicadas para cf, δ e cD para calcular as expressões pedidas para cada parâmetro.

- Substitua os valores indicados nas expressões obtidas para obter os valores numéricos pedidos.

Problema II

Considere uma placa de espessura desprezável, muito larga, de comprimento L=2 m, alinhada com um escoamento de ar (ρ=1,2 kg/m3, μ=1,8×10-5 Pa.s) em que a velocidade não-perturbada é U=2 m/s. Sobre a placa o gradiente longitudinal de pressão é nulo. Admita que a transição de regime laminar para turbulento ocorre para um número de Reynolds Rex=106. Se necessário utilize a lei de velocidades 1/7 para o perfil de velocidades em regime turbulento, [pic 44].

- Utilizando a solução de Blasius onde adequado, determine a espessura da camada limite nas secções S1 e S2, respectivamente às distâncias x1=0,75 m e x2=1,5 m. Verifique que se trata de uma camada limite delgada.

(R: 0,0119 m e 0,0168 m)

- Calcule os caudais mássicos e de quantidade de movimento que atravessam a camada limite nestas duas secções. Como justifica a diferença de valores entre as duas secções? (R: 0,0187 kg/s/m e 0,0264 kg/s/m; 0,02976 N/m e 0,04224 N/m)

- Calcule a ordenada y em x1 da linha de corrente que passa pelo ponto definido pelas coordenadas x2=1,5 e y=δ. Que significado atribui ao deslocamento vertical sofrido pela linha de corrente entre as duas secções? (R: 0,0151 m)

- Estime a força por unidade de largura que se exerce entre as secções S1 e S2.

(R: 0,000031