MÚLTIPLOS E DIVISORES DE UM NÚMERO NAUTAL

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- Divisibilidade por 2

[pic 5] [pic 6] [pic 7] [pic 8]

Um número natural é divisível por 2 quando esse número for par, ou seja, quando o último algarismo for 0,2,4,6 ou 8.

- Divisibilidade por 3 e por 9

- [pic 9] b) [pic 10] c) [pic 11] d) [pic 12]

Observe que as divisões que aparecem em a e c são exatas, e as somas dos valores absolutos dos algarismos de 231 (2+3+1=6) e de 102 (1+0+2=3) são números múltiplos de 3. Já em b e d as divisões não são exatas e as somas dos valores absolutos dos algarismos de 313 (3+1+3=7) e de 542 (5+4+2=11) os resultados não são múltiplos de 3.

Um número natural é divisível por 3 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número múltiplo de 3.

De maneira semelhante, podemos verificar se um número natural é divisível por 9.

[pic 13] [pic 14]

Observe que 846 (8+4+6=18) que é um múltiplo de 9 e portanto a divisão é exata. O mesmo não acontece com o número 564 (5+6+4=15) a soma absoluta não resulta em um número múltiplo de 9.

Um número natural é divisível por 9 quando a soma dos valores absolutos dos seus algarismos for um número múltiplo de 9.

- Divisibilidade por 4

[pic 15]

Note que a divisão do número 716 é exata, e os dois últimos algarismos do número 716 formam o número 16, que é múltiplo de 4. Já a divisão do 421 não é exata, pois os últimos algarismos formam o número 21 que não é múltiplo de 4.

Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos algarismos formam um número múltiplo de 4.

- Divisibilidade por 5

[pic 16]

A divisão dos números 310 e 415 por 5 são exatas, onde 310 termina com 0 e 415 termina com 5, e ambos divisíveis por 5. Já o numero 618 não termina em 0 ou 5, portanto não é divisível por 5.

Um número natural é divisível por 5 quando o ultimo algarismo é 0 ou 5.

- Divisibilidade por 6

[pic 17]

A divisão do 504 é exata, e o número 504 é divisível por 2 e por 3. Já os números 321 e 712 não apresentaram divisão exata. O 321 é divisível por 3 mas não é divisível por 2 e o 712 é divisível por 2 mas não por 3.

Um número natural é divisível por 6 quando ele é divisível por 2 e por 3.

Atividades:

- Utilizando o critério da divisibilidade, verifique se os números apresentados são divisíveis por 2, 3, 4, 5, 6, 9 ou 10.

254

215

333

148

369

565

159

510

364

- Realize os cálculos mentalmente e verifique as afirmações a seguir indicando verdadeira ou falsa e justificando sua resposta.

- 4.374 é divisível por 3.

- 93.701 é divisível por 5.

- 4 é divisor de 3.924.

- 34020 é divisível por 2.

- 6 é divisor de 10.458.

- 31.620 é divisível por 9 e 10.

- 4712 é divisível por 6.

- Escreva o menor número de dois algarismos divisível por 3, 4 e 5 ao mesmo tempo.

- Escreva o menor número de três algarismos divisível por 5, 6 e 10 ao mesmo tempo.

- Escreva o menor número maior que 10 e divisível por 2, 3 e 5.

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-

Máximo divisor comum (mdc)

Veja a seguir as sequencias dos divisores de 18 e de 24.

- Divisores de 18:

1, 2, 3, 6, 9 e 18

- Divisores de 24:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24

Observando essas sequencias, podemos notar que os números 1, 2, 3 e 6 em destaque são divisores de 18 e 24 ao mesmo tempo, e que os números 1, 2, 3 e 6 são os divisores de 18 e 24 ao mesmo tempo, e que o número 6 é o maior divisor desses divisores.

Dizemos então que o 6 é o maior divisor comum de 18 e 24 e indicamos por mdc(18,24)=6.

[pic 18]

O mdc pode ser utilizado para resolver problemas como o apresentado a seguir:

Jéssica tem 3 pedaços de tecido que serão cortados para fazer fantasias. Para obter melhor aproveitamento dos tecidos, ele vai cortá-los com o maior comprimento possível de forma que os pedaços tenham todos o mesmo comprimento. O tecido vermelho mede 12m, o azul, 8m e o amarelo 20m. Qual será o comprimento de cada pedaço de tecido?

Divisores de 8:

Divisores de 12:

Divisores de 20:

Atividades:

- Observe a sequencia dos divisores de 24, 32 e 36.

24

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24

32

1, 2, 4, 8, 16 e 32

36

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36