SISTEMA DE COORDENADAS RETANGULARES

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A(xA ; yA) C(xC ; yC) D(xD ;yD) B(XB ; yB)

Sabemos então as coordenadas do ponto A e do ponto B e devemos estabelecer então os valores das coordenadas dos pontos C e D.

Para isso sabemos que os segmentos AC ; CD ; DB são todos iguais. Daí usaremos as formulas da razão segmentária. Observe que o segmento AC é igual a 1/3 do segmento AB. Logo podemos afirmar que:

Razão = [pic 35][pic 36]

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Razão = [pic 38]

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Razão = [pic 40][pic 41]

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Razão = [pic 43][pic 44]

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PONTO MÉDIO

Para encontrarmos o ponto médio de um segmento, utilizaremos a razão segmentária 1/2.

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Razão = [pic 51][pic 52]

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Razão = [pic 54][pic 55]

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BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO OU CENTRO DE MASSA

O Baricentro ou Centro de Massa é o local onde se aplica uma força para se levantar o sistema em equilíbrio. Geometricamente em um triângulo o Baricentro é o encontro das suas medianas.

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Com isso podemos estabelecer as coordenadas do baricentro:

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Utilizando a razão segmentária do segmento tem-se:[pic 60]

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Substituindo III em I e IV em II teremos

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Exemplos: 1) O Baricentro do triângulo ABC é o ponto G( 4 ; 0) e M (2 ;3) é o ponto médio de BC. Achar as coordenadas do vértice A.

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Logo podemos afirmar que A( 8; - 6).

TRANSLAÇÃO E ROTAÇÃO DE EIXOS.

- Translação de eixos

Sejam Ox e Oy eixos primitivos de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares com origem O( 0; 0). Sejam O’x’ e O’y’ os novos eixos coordenados de um novo sistema com origem O’(h ; k). Formando agora um novo sistema de coordenadas. Dizemos que o sistema foi transladado e seja P um ponto cujas coordenadas no sistema primitivo são P( x ; y) . Pela figura abaixo podemos interpretar que as coordenadas deste mesmo ponto no novo sistema será dada por:

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Exemplo: 1) Determine as coordenadas do ponto P(5,-3), em relação ao novo sistema, depois de realizado uma translação para a nova origem O’(-3,2).

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Logo as coordenadas do ponto P em relação ao novo sistema são P ( 8 ; - 5) .

- Rotação de eixos

Sejam Ox e Oy eixos primitivos de um sistema cartesiano retangular de origem O (0 ; 0). Sejam O’x’ e O’y’ os novos eixos coordenados depois que o sistema primitivo for rotacionado de um ângulo em torno da origem O( 0 ; 0). Ou seja é o ângulo formado entre os eixo Ox e O’x’. Seja um ponto P de coordenadas primitivas P ( x ; y) . Pela figura abaixo vamos calcular suas coordenadas no novo sistema rotacionado.[pic 78][pic 79]

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Pela figura temos que [pic 85]

No triângulo OMR temos que: [pic 86]

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No triângulo PQR temos que : [pic 88]

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Exemplo: 1) Determine o ângulo, segundo o qual, os eixos devem ser rotacionados para eliminar o termo xy na equação [pic 92]

Resolução:

Substituindo as equações de rotação na equação dada teremos:

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7(x’2cos2 – 2x’y’.cos.sen + y’2.sen2)-.(x’2cossen + x’y’cos2-x’y’sen2) +13( x’2sen2+ 2.x’y’sen.cos+y’2cos2[pic 94][pic 95][pic 96][pic 97][pic 98][pic 99][pic 100][pic 101][pic 102][pic 103][pic 104][pic 105][pic 106]

7 x’2cos2-14x’y’ cos.sen+7y’2.sen2- x’2cossen x’y’cos2+ x’y’sen2+13 x’2sen2+ 26 x’y’sen cos+13 y’2cos2 = 16[pic 107][pic 108][pic 109][pic 110][pic 111][pic 112][pic 113][pic 114][pic 115][pic 116][pic 117][pic 118][pic 119][pic 120][pic 121]

Fazendo os coeficientes do termo ab igual a zero teremos:

-14x’y’ cos.sen - x’y’cos2 x’y’sen2+26x’y’sen cos= 0 [pic 122][pic 123][pic 124][pic 125][pic 126][pic 127][pic 128]

12x’y’sen cos- x’y’(Cos2 -Sen2 )= 0[pic 129][pic 130][pic 131][pic 132][pic 133]

6x’y’.[(2sen cos - (cos2)] = 0 [pic 134][pic 135][pic 136][pic 137]

6x’y’.(sen2-(cos2)