SISTEMAS DETERMINÍSTICOS CAÓTICOS “PÊNDULO DUPLO”

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Na condição em que o comportamento do mapa logístico é periódico, é fácil prever as condições futuras, pois obedecem uma regularidade que a longo prazo se estabiliza na forma de um atractor. Mas quando acontece o regime caótico, uma pequena variação nas condições iniciais provoca grandes variações nas condições futuras.

A maneira como essa equação (4) funciona é que os resultados vão sempre alimentando a equação de modo a se obterem novos resultados. Um ponto interessante é que, dependendo como se utiliza um certo fator, os resultados podem se tornar altamente previsíveis ou altamente caóticos.

Segundo Manuel Grilo (2016), a partir da equação 3, começando em um valor qualquer de X, e dando um valor ao parâmetro r entre 0 e 4, pode-se observar o comportamento a longo prazo do sistema repetindo a formula recursiva (3) algumas vezes. No início, utilizando valores pequenos para r, menores que 3, o sistema converge para um valor. Utilizando r=3, o sistema alterna entre 2 valores. Para r=3,5 passa a alterar entre 4 valores. Com r=3,56 duplica de novo, gerando 8 valores. Agora a partir deste valor de r, o sistema começa a multiplicar cada vez mais rápido , se tornando caótico com um r=3,58. No entanto, logo a seguir o caos desaparece esporadicamente e aparece novamente logo a seguir, gerando janelas periódicas.

(3)[pic 13]

FIGURA 4: Diagrama de bifurcação que representa o crescimento populacional.

[pic 14]

Fonte: febuniac.wix.com

Como na pratica é muito difícil definir com exatidão as condições iniciais, a previsibilidade do sistema acaba comprometida, e apesar de determinístico, torna-se imprevisível. Com isso o atrator perde qualquer regularidade e é denominado atrator estranho.

- Mapa de Hénon

Segundo Tópicos de Física Computacional (2016), o mapa de Henon foi composto em 1976 pelo astrono francês Michael Hénon. O mapa de Hénos é definido pelas seguintes equações 4 e5.

(4)[pic 15]

(5)[pic 16]

Onde “a” é o parâmetro de não linearidade e “b” o parâmetro de dissipação do sitema.

Apesar de ser descrito por um conjunto de equações bastante simples, o mapa de Hénon apresenta uma dinâmica bastante rica. Quando são usados os valores de a=1,4 e b=0,3 o mapa apresenta um comportamento caótico, conforme mostra figura 5, mas para outros conjuntos de valores, o mapa pode convergir para uma orbita periódica, caótica ou mesmo divergir.

FIGURA 5: Atractor gerado pelo mapa de Hénon com comportamento caótico.

[pic 17]

Fonte: en.wikipedia.org

Se a imagem for aumentada, figura 6, pode-se perceber que as linhas que pareciam ser únicas, em uma escala maior são várias linhas de trajetória semelhantes. Esta propriedade se chama auto similaridade, isso significa que o que se vê na imagem aumentada várias vezes é similar á imagem original.

FIGURA 6: Similaridade do mapa de Henón.

[pic 18]

Fonte: en.wikipedia.org

- Mapa de Lorenz

Conforme Mundo Estranho (2016), por volta de 1960, Edward Lorenz desenvolveu modelos computacionais que de certo modo faziam uma previsão de tempo a longo prazo. Então Lorenz descobriu algo surpreendente, pequenas mudanças ou pequenos erros em um par de variáveis produziam efeitos tremendamente desproporcionais. Lorenz chamou sua descoberta de efeito borboleta.

Em outras palavras, fatores insignificantes podem produzir resultados catastróficos imprevisíveis.

DEF (2016) diz que o atractor de Lorenz é um mapa caótico que mostra como o estado de um sistema dinâmico evolui no tempo em um padrão complexo, não-repetitivo e cuja forma é conhecida por se assimilar a uma borboleta, conforme mostra figura 7.

Trata-se de um sistema não-linear, tridimensional e determinístico que resulta em comportamento caótico, sendo chamado de atrator estranho, conforme Teoria do Caos (2016).

O atrator de Lorenz é definido pelas equações 6, 7 e 8.

(6)[pic 19]

(7)[pic 20]

(8)[pic 21]

O sistema se apresenta caótico com valores de