POLINOMIO INTERPOLADOR DE LAGRANGE

...

%---------------------------------------------------------

% t = tempo (min)

% T = temperatuta do corpo

% Tamb = temperatura ambiente

%k = constante experimental

clear all, close all, clc,

k = 0.0116; Tamb = 10; a=0; b = 600; h = 6;

m=(b-a)/h;

t(1)=0; T(1)=30;

for j=1:m

T(j+1)=T(j)+h*(-k*(T(j)-Tamb));

t(j+1)=t(j)+h;

end

TEXATO =Tamb + (T(1)-Tamb).*exp(-k.*(t-t(1)));

plot(t./60,TEXATO,'K',t./60,T,'b--')

legend('Resposta Exata', 'Método de Euler')

xlabel('tempo, (h)'), ylabel('graus Celsius')

As aproximações obtidas podem ser verificadas no gráfico abaixo:

[pic 12]

- Resolva o problema de decaimento radioativo do carbono 14 através do método de Euler (m=100) na malha [ 0; 12000] anos. Traçar no mesmo gráfico as respostas exata e numérica obtidas para quantidade de material Q(t).

; Q(t) = Q0.ekt (k=-1,244x10-4 ; Q0 = 4,36 u de C14)[pic 13]

R:

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% IFPB - 08/03/2016

% MÉTODO DE EULER - QUESTAO 4

% EXEMPLO DE APLICAÇÃO - DECAIMENTO RADIOATIVO

%---------------------------------------------------------

clear all, close all, clc,

k = -0.0001244; a=0; b = 12000; m = 100;

h=(b-a)/m;

t(1)=0; Q(1)=4.36;

for j=1:m

Q(j+1)=Q(j)+h*(k*(Q(j)));

t(j+1)=t(j)+h;

end

TEXATO =Q(1).*exp(k.*(t));

plot(t./60,TEXATO,'K',t./60,Q,'g--')

legend('Resposta Exata', 'Método de Euler')

xlabel('Quantidade de material'), ylabel('Anos')

O gráfico obtido foi:

[pic 14]

- Resolva os modelos de crescimento populacional através do método de Euler (m=100) na malha [ 0;50] aos. Considere N0 = 4 milhões, k = 0.02/ ano e L = 10 milhões. Traçar num mesmo gráfico as respostas exata e numérica obtidas para os dois modelos.

Modelo de Malthus: ; N(t) = N0.ekt[pic 15]

Modelo de Verhulst – Pearl: . ; [pic 16][pic 17]

N(t) = [pic 18]

R:

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% IFPB - 08/03/2016

% MÉTODO DE EULER APLICADO A MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL

% QUESTAO 6

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clear all, close all, clc,

k=0.02; N0=4; L=10;

m = 1000; a=0; b=5; h=(b-a)/m; t1=1:h:b;

Nexato = N0*exp(k.*t1);

N1exato =L*N0./(N0+(L-N0)*exp(-k.*t1));

m=100; h = (b-a)/m; t = a:h:b;

N(1)= N0; N1(1)=N0;

for j=1:m

N(j+1)=N(j)+h*k*N(j);

N1(j+1)=N1(j)+h*k*N1(j)*(1-N1(j)/L);

end

set(gcf, 'Position', [1 33 1024 662], 'Color', [1 1 1]);

ax = axes;

p = plot(t,N,'k.', t1, Nexato, 'k', t, N1, 'k.', t1, N1exato, 'k');

label(1)= xlabel('anos');

label(2) = ylabel('milhões de habitantes');

label(3)= title('Crescimento Populacional');

label(4)=legend('MÉTODO DE EULER', 'RESPOSTA EXATA',0);

set(p,'LineWidth',1);

set(ax,'FontName', 'TimesNewRoman', 'FontSize', 18)

set(label, 'FontName', 'TimesNewRoman','FontSize',18,'FontWeight','Bold')

Graficamente obtemos:

[pic 19]

MÉTODO DE EULER E RUNGE – KUTTA

EXEMPLO 1a: MÉTODO DE EULER APLICADO AO SISTEMA PREDADOR PRESO

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% IFPB - 15/03/2016

% MÉTODO DE EULER APLICADO AO SISTEMA PREDADOR PRESA

% X - TEMPO Y - PRESA Z - PREDADOR

%---------------------------------------------------------

clear