Os Polinômios e Equações Polinomiais

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2.1.5 Soluções Numéricas

Os métodos numéricos utilizados na determinação de raízes de equações polinomiais serão alvo de estudo mais aprofundado na disciplina de Cálculo Numérico. O aluno interessado poderá visitar o Capítulo 28 do livro do Riley. Aqui apresentaremos algumas ideias gerais de como abordar este problema apenas avaliando a função. Vejamos o caso da equação polinomial abaixo:

g(x) = 4x3 + 3x2 − 6x − 1 = 0 (5)

Podemos concluir por uma simples análise dos extremos da expressão polinomial que para x grande e positivo a função g(x) assumirá valores grandes e positivos. Já para x grande e negativo a função assumirá valores grandes e negativos. Sendo assim, concluímos que a função g(x) tem pelo menos uma raiz.

Além disso, como discutiremos mais adiante, Se uma função f(x) é um polinômio de grau n, então o gráfico de f(x) deve cruzar o eixo x um número par ou ímpar de vezes quando x é variado de −∞ a +∞, de acordo com o valor de n ser par ou ímpar.

Portanto, um polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real, mas um polinômio de grau par pode não ter raiz real alguma.

Uma vez que analisamos os extremos da equação g(x) = 0 e concluímos que há pelo menos uma raiz, nós podemos então perguntar quantas raízes podem existir. Para isso, iremos discutir agora um teorema fundamental da álgebra que diz que:

Uma equação polinomial de grau n tem exatamente n raízes.

Neste momento não pretendemos apresentar uma demonstração deste teorema, apenas argumentos satisfatórios para reforçar esta afirmação.

Seja f(x) = 0 com r raízes α1 ···αr. Suponha agora que F(x) = A(x−α1)(x−α2)···(x− αr), em que A é uma constante não-nula. Um segundo teorema da álgebra diz que se duas funções, f(x) e F(x) tem os mesmos valores para todos os valores de x, então seus coeficientes são os mesmos, termo a termo. Ou seja:

Axr ≡ anxn (6)

com r = n e A = an. Como r é igual a n e ao número de raízes de f(x) = 0, nós concluímos que um polinômio de grau n tem n raízes.

Se F(x) = A(x − α1)m1(x − α2)m2 ···(x − αr)mr, mk são os multiplicadores das raízes αk. Se mk é maior que 1, o número de raízes distintas r é menor que n. O número total de raízes é n, porém uma ou mais αk são repetidas.

Voltando ao nosso caso de interesse, o próximo passo é o de utilizar a derivada da função para obter mais informações sobre as raízes da equação polinomial. A derivada da função f(x), f0(x), mede a inclinação da reta tangente ao gráfico de f(x) no ponto x (veja a Figura 5 mais adiante).

A derivada da função g(x) de nosso interesse é g0(x) = 12x2 + 6x − 1. O Teorema de Rolle, que será objeto da primeira questão da primeira lista, diz que:

Se f(x) tem valores iguais em dois valores diferentes de x, então em algum ponto entre estes dois valores de x sua derivada é igual a zero, isto é, a tangente ao seu gráfico é paralela ao deixo x neste ponto (veja Figura ?? mais adiante).

De posse das informações obtidas pela derivada da função e do Teorema de Rolle, nós podemos discutir mais profundamente as raízes de g(x). Se g(x) = 0 tiver três raízes reais, isto é g(αk) = 0, para k = 1,2,3, então segue do Teorema de Rolle que entre um par consecutivo de raízes, digamos α1 e α2, deve haver algum valor de x em que g0(x) = 0. De modo análogo, deve haver mais algum valor de x em que g0(x) = 0 entre α2 e α3. Sendo assim, a condição necessária para que g(x) = é que g0(x) = 0 tenha duas raízes reais.

É importante destacar que a condição acima é necessária porém não é suficiente. Veja o caso mostrado na Figura 1.

Para cada uma das duas funções, φ1(x) e φ2(x), a derivada é igual a zero em x = β1 e x = β2. Porém, φ2(x) tem três raízes reais, enquanto que φ1(x) tem apenas uma.

Porém um detalhe chama a atenção: Enquanto φ1(β1) eφ1(β2) tem o mesmo sinal, φ2(β1) e φ2(β2) tem sinais opostos.

Finalmente podemos decidir quantas raízes reais a equação abaixo tem:

g(x) = 4x3 + 3x2 − 6x − 1 = 0

A equação g0(x) = 12x2 + 6x − 6 tem duas raízes reais:

(7)

[pic 2] (8)

ou seja, β1 = −1 e β2 = 1/2. Os valores correspondentes de g(x) são g(β1) = 4 e g(β2) = −11/4), que possuem sinais opostos. Isto indica que g(x) tem três raízes reais, uma no intervalo −1 1/2 a as outras duas uma em cada lado do intervalo.

φ1(x) φ2(x)

x x[pic 3][pic 4]

Figura 1: Duas curvas φ1(x) e φ2(x), ambas com derivadas nulas no mesmo valor de x mas com números diferentes de soluções reais para φi(x) = 0.

[pic 5]

Figura 2: Gráfico da função f(x) = 4x3+3x2−6x−1 e de sua derivada g(x) = 12x2+6x−6.

2.1.6 Fatoração de Polinômios

Nesta seção falaremos sobre fatoração de polinômios. Este é um tópico da álgebra básica pouco lembrado pelos alunos e de grande importância nos desenvolvimentos algébricos do dia-a-dia.

Um polinômio com r raízes distingas αk pode ser construído como o produto de fatores

como apresentado abaixo:

f(x) =

an(x − α1)m1(x − α2)m2 ···(x − αr)mr

(9)

=

amxn + an−1xn−1 + ··· + a1x + a0

(10)

com n = m1 + m2 + ··· + mr o grau do polinômio. Às vezes, é desejável poder reverter este processo, ou seja, partir da forma (10) e chegar na forma (9), em particular quando um (ou mais) zero (zeros) exato (exatos) for (forem) encontrado (encontrados) por algum método, deixando os remanescentes ainda para serem determinados. Ou seja, podemos escrever no caso