Resistência dos Sólidos - Tensões

...

[pic 11]

Figura 7 – Tensões no estado plano.

Tensão normal:

[pic 12]

- TENSÕES EM PLANOS GENÉRICOS – CÁLCULO ANALÍTICO

Num plano genérico no interior do subsolo, a tensão atuante não é necessariamente normal ao plano. Para efeito de análises, ela pode ser decomposta numa componente normal e outra paralela ao plano, como é apresentado na Figura 8.

A componente Normal é chamada de tensão normal (σ) e a componente tangencial de tensão de cisalhamento (τ), embora não sejam tensões que possam atuar separadamente.

[pic 13]

Figura 8 – Componentes atuantes em um plano.

- TENSÕES PRINCIPAIS

Frequentemente, no estudo das tensões, o interesse está voltado para a determinação da maior e da menor tensão, dadas pelas expressões de σx, σy e τxy (caso plano) e, também, em que planos ocorrem tais tensões.

Para isto se faz:

[pic 14]

Ou:

[pic 15]

Assim concluímos que:

[pic 16]

Para θ1 que determina as máximas tensões normais, as tensões tangenciais são nulas.

Os planos em que atuam as máximas tensões são chamados de planos principais de tensão e as tensões máximas são chamadas tensões principais.

[pic 17]

Figura 9 – Análise gráfica de tgθ 1.

Assim:

[pic 18]

Substituindo-se em:

[pic 19]

Temos:

[pic 20]

[pic 21]

Onde:

[pic 22]

Dai:

[pic 23]

E:

[pic 24]

- TENSÕES DE CISALHAMENTO MÁXIMAS

Fazendo-se um estudo análogo ao das tensões principais, a tensão tangencial em qualquer plano θ é dada por:

[pic 25]

assim θ2 indica qual plano a tensão tangencial é máxima ou mínima.

Concluímos, desse modo que:

2θ2 tem dois valores e chamando de θ'2 e θ''2, estes valores estão defasados de 90 º.

Comparando-se tg 2θ1, e tg 2θ2 temos que:

[pic 26]

daí: 2q1 e 2q2 diferem de 90 º.

Assim os planos de máxima tensão tangencial estão a 45 º dos planos principais de tensão.

[pic 27]

Figura 10 – Tensões máximas de cisalhamento.

[pic 28]

Dessa forma a máxima tensão tangencial difere da mínima apenas pelo sinal. Do ponto de vista físico esses sinais não têm significado e por esta razão a maior tensão tangencial será chamada de tensão máxima tangencial ou de cisalhamento.

Ao contrário das tensões principais, para as quais não existem tensões de cisalhamento (tangenciais), as máximas tensões de cisalhamento atuam em planos não livres de tensões normais.

Tomando-se a equação:

[pic 29]

e aplicando

[pic 30]

Figura 11 – Análise gráfica de tensões normais e tangenciais.

Assim:

[pic 31]

temos:

[pic 32]

[pic 33]

- TENSÕES EM PLANO GENÉRICO – CÍRCULO DE MOHR

Regras Práticas, conceito de polo e determinação de cálculo de tensões em um plano genérico.

Seja o seguinte estado plano de tensão:

[pic 34]

Figura 12 – Estado de tensão.

Para traçar o círculo de Mohr, via regra prática, considera-se os seguintes itens:

1 - Estabelecer um sistema de coordenadas do tipo:

σ - eixo horizontal

τ - eixo vertical sem circulação

2 - Colocar no sistema de eixo s, t os pontos Tx e Ty cujas coordenadas são os valores (σx,τ), (σy,τ) da seguinte maneira:

a) percorrendo-se o elemento no sentido de t encontraremos o primeiro par (σx, τxy) e marca-se a abcissa de σx de acordo com o seu sinal (s > 0 - tração, s τxy deve ser alocada para cima ou para baixo conforme orientação no elemento. Temos então Tx.

b) percorrendo-se o elemento no sentido de giro de t vamos encontrar outro par. (σy, τxy) ou seja o ponto Ty. Aloca-se σy de acordo com seu sinal e τxy será alocado em posição oposta a τxy do ponto Τx em relação ao eixo σ.

3 - Com Tx e Ty acham-se o centro da circunferência e a desenha.

Esquematicamente:

[pic 35]

Figura 13 – Círculo de Mohr.

4 – Posição do Polo

Polo