FORMULAS DE DERIVAÇÃO FUNÇÕES ALGÉBRICAS

...

[pic 64] [pic 65]

[pic 66] [pic 67]

[pic 68] [pic 69]

[pic 70] [pic 71]

[pic 72] [pic 73]

Fórmulas de Derivação

[pic 74]

[pic 75] [pic 76]

[pic 77] [pic 78]

[pic 79] [pic 80]

[pic 81] [pic 82]

[pic 83] [pic 84]

DERIVADAS SUCESSIVAS

Seja a função [pic 85], vamos obter as seguintes derivadas:

[pic 86] derivada primeira ou derivada de 1ª. ordem,

[pic 87] derivada segunda ou de 2ª. ordem,

[pic 88] derivada terceira ou de 3ª. ordem,

[pic 89] derivada quarta ou de 4ª. ordem,

[pic 90]

logo, [pic 91] se [pic 92] derivada enésima ou de ordem [pic 93]

FUNÇÕES CRESCENTES E DECRESCENTES

Sejam as retas [pic 94] e [pic 95] tangentes respectivamente aos gráficos das funções [pic 96] e [pic 97] nos pontos de abscissa [pic 98] abaixo:

Se [pic 99] função crescente

Se [pic 100]função decrescente

[pic 102][pic 101]

Sabe-se que a derivada da função num ponto é igual ao coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função neste ponto. Quando a derivada é positiva o ângulo que a reta forma com o eixo das abscissas é menor do que [pic 103], portanto a função é crescente. Quando a derivada é negativa o ângulo é maior do que [pic 104], portanto a função é decrescente.

VALORES CRÍTICOS E PONTOS CRÍTICOS

Um número [pic 105] do domínio da função [pic 106] denomina-se valor crítico, se [pic 107] ou se [pic 108] não existe. O ponto [pic 109] é um ponto crítico da função. Os pontos de máximo, mínimo e de inflexão são exemplos de pontos críticos de uma função.

No gráfico seguinte, [pic 110], [pic 111], [pic 112], [pic 113], [pic 114] e [pic 115] são pontos críticos e as abscissas [pic 116], [pic 117], [pic 118], [pic 119], [pic 120] e [pic 121] são valores críticos. Observar que não existe a derivada no ponto [pic 122] e nos demais pontos críticos a derivada é nula.

[pic 124][pic 123]

MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS

Uma função [pic 125] tem um valor máximo local ou máximo relativo para [pic 126], se existir um intervalo aberto [pic 127] que contém [pic 128] e [pic 129] for maior do que os valores que imediatamente o precedem e o sucedem na função.

Uma função [pic 130] tem um valor mínimo local ou mínimo relativo para [pic 131], se existir um intervalo aberto [pic 132] que contém [pic 133] e [pic 134] for menor do que os valores que imediatamente o precedem e o sucedem na função.

Os pontos de máximo local ou de mínimo local são pontos extremos ou são os extremantes da função e[pic 135] é chamado de valor extremo de [pic 136].

Exemplos

1) Na função [pic 137], existe um ponto de máximo local para [pic 138] e o máximo local de [pic 139] é [pic 140].

2) Na função [pic 142], existe um ponto de mínimo local para [pic 143] e o mínimo local de [pic 144] é [pic 145].[pic 146][pic 141]

3) Na função [pic 148], existe um ponto de máximo local para [pic 149] e o máximo local de [pic 150] é [pic 151] e existe um ponto de mínimo local para [pic 152] e o mínimo local de [pic 153] é [pic 154].[pic 155][pic 147]

[pic 157][pic 156]

4) Abaixo temos o gráfico da função [pic 158], no intervalo [pic 159], [pic 160] e [pic 161] são pontos de máximo local e [pic 162] e [pic 163] são pontos de mínimo local.

[pic 165][pic 164]

MÁXIMOS E MÍNIMOS ABSOLUTOS

Na maioria dos problemas práticos, devemos encontrar um máximo absoluto ou um mínimo absoluto de uma função num determinado intervalo. O máximo absoluto num intervalo é o valor máximo da função no intervalo e o mínimo absoluto é o menor valor no intervalo. Os extremos absolutos podem coincidir com os extremos locais. Nos três primeiros exemplos anteriores os extremos locais coincidem com os extremos absolutos. No quarto exemplo, no intervalo [pic 166], o máximo absoluto é o ponto [pic 167] e o mínimo absoluto é o ponto [pic 168].

DETERMINAÇÃO DOS MÁXIMOS E MÍNIMOS PELO MÉTODO DA PRIMEIRA DERIVADA

Em pontos onde a função [pic 169] é derivável, a reta tangente ao gráfico da função nos pontos de máximo e mínimo é paralela ao eixo das abscissas, então, o ângulo que a mesma forma com o eixo é nulo, portanto nesses pontos a derivada da função é nula.

O gráfico abaixo mostra que na vizinhança do ponto de máximo, a função passa de crescente para decrescente, portanto o sinal da derivada na vizinhança de [pic 170] passa de positivo para negativo. No ponto de mínimo, a função passa de decrescente para crescente, portanto o sinal da derivada na vizinhança de [pic 171] passa de negativo para positivo.

Nos pontos de máximo a concavidade da curva é voltada para baixo e nos pontos de mínimo a concavidade é voltada para cima.

[pic 173][pic 174][pic 172]

Ponto de Inflexão

Se a derivada não mudar de sinal ao passar pelo ponto crítico temos um ponto de inflexão. No exemplo temos um ponto de inflexão com reta horizontal ou ponto de inflexão horizontal para [pic 175]. Observando o gráfico da função [pic 176], o sinal da primeira derivada é positivo para todo [pic 177] R* e nulo para [pic 178]. Observar que no ponto de inflexão a concavidade muda de sentido. Para [pic 179] a concavidade