As Varaiveis Aleatórias

...

Na tabela 3 verifica-se que:

[pic 2]

Vamos demonstrar como fica o esquema tabular apenas para distribuições bidimensionais, nesse caso podemos demonstra-la a partir de tabelas de dupla entrada, para as variáveis X e Y essa tabela poderia ser formada da seguinte forma:

Tabela 4

Y\X

0

1

2

3

p(y)

0

1

1/8

0

2/8

1/8

1/8

2/8

0

1/8

1/2

1/2

p(x)

1/8

3/8

3/8

1/8

1

Observando o caso de duas variáveis (X e Y), a melhor maneira de representar graficamente, seria:

[pic 3]

Distribuições marginais e condicionais

As distribuições marginais vão ocorrer a partir da soma de uma linha ou coluna das distribuições conjuntas (ou seja, que estão à margem das tabelas). Já as distribuições condicionais irão depender de uma determinada característica exigida, que envolve o produto de algumas probabilidades.

Por exemplo, as distribuições marginais, analisando os dados da tabela 4 da v.a. X e Y :

[pic 4][pic 5]

Já para as distribuições condicionais:

[pic 6]

Pela tabela combinada, pode-se fazer o calculo de quando x=2, assim tem-se:

[pic 7]

Para as três situações teríamos:

X

1

2

3

[pic 8]

¼

½

1/4

Podemos observar que a soma das probabilidades

[pic 9]

De outra forma, podemos obter a probabilidade condicional de Y, dado que X=2, assim teríamos:

Tabela 6

y

0

1

[pic 10]

1/3

2/3

Logo, podemos, portanto, definir a probabilidade condicional de X e Y como:

[pic 11]

Que é denominada probabilidade condicional de y dado x. Cujo somatório resulta em:

[pic 12]

Considerando a distribuição condicional de X, dado que Y=1, podemos calcular a média dessa distribuição, assim:

[pic 13]

Com isso podemos definir a média como:

[pic 14]

Funções de variáveis aleatórias

Voltando para a tabela 4, a partir dela, podemos considerar, por exemplo, a v.a. X + Y, ou a v.a. XY. A soma X + Y é definida naturalmente: a cada resultado do experimento, ela associa a soma dos valores de X e Y, isto é:

(X + Y)(ω) = X(ω) + Y(ω)

Do mesmo modo,

(XY)(ω) = X(ω) Y(ω)

Com isso, baseado nos dados anteriores, obtém-se:

Tabela 5

(xi, yi)

X + Y

XY

P(xi, yi)

(0,0)

0

0

1/8

(0,1)

1

0

0

(1,0)

1

0

2/8

(1,1)

2

1

1/8

(2,0)

2

0

1/8

(2,1)

3

2

2/8

(3,0)

3

0

0

(3,1)

4

3

1/8

A partir da tabela 5, podemos obter a distribuição de X + Y e XY.

Covariância