Análises das deflexões de vigas biapoiadas e em balanço

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Dentro da matemática Aplicada as Equações Diferenciais têm um papel relevante na ligação e interação com outras ciências, desde sua origem em problemas ligados a física e recentemente como ferramenta indispensável à biologia com todas suas ramificações, compartilhando amplamente com alguns ramos da química, engenharia e economia.

Assim, acreditamos que os primeiros passos para a modelagem de fenômenos reais, seriam bastante trôpegos se fosse descartada uma iniciação às Equações Diferenciais e optamos por considerar a ”matemática Aplicada” não exatamente como uma ciência, mas como uma atitude no estudo da matemática dentro do contexto científico em que ela se desenvolve.

A matemática Aplicada não deve ser considerada como uma disciplina estanque e descomprometida ela é um instrumento intelectual poderoso que, através da abstração e formalização, sintetiza ideias as quais, embora semelhantes, surgem em situações as mais diversas e por isto mesmo camufladas na sua essência. O objetivo da matemática é, então, extrair esta essência e formalizá-la em um contexto abstrato, o modelo onde ela possa ser trabalhada intelectualmente, desenvolvida e absorvida com uma extraordinária economia de pensamento.

- Divisão

Como o próprio nome diz, para ser uma equação diferencial, devemos ter uma equação, ou seja, algo que envolva uma igualdade, e que tenha cálculos diferenciais, que são as derivadas.

As equações diferenciais são divididas em dois grupos, que são: As equações diferenciais ordinárias e as equações diferenciais parciais. Equação diferencial ordinária (EDO) envolve derivadas de uma função de uma só variável independente, é uma equação envolvendo uma função incógnita y = y(x) e suas derivadas ou suas diferenciais. x é a variável independente, y é a variável dependente e o símbolo y (k) denota a derivada de ordem k da função y = y(x).Equação diferencial parcial (EDP) envolve derivadas parciais de uma função de mais de uma variável independente.

A ordem da equação diferencial é a ordem da mais alta derivada da função incógnita que ocorre na equação. Grau é o valor do expoente para a derivada mais alta da equação, quando a equação tem a “forma” de um polinômio na função incógnita e em suas derivadas.

Dentre elas serem equações diferenciais ordinárias ou parciais, temos vários afluentes, ou seja, diferentes tipos de equações que podemos estudar e aplicar, dentre outros conhecimentos necessários para analisá-las. Uma boa ideia seria dividir o conteúdo em: Equações Diferenciais de Primeira Ordem, Equações Lineares de Segunda Ordem, Equações Lineares de Ordem Mais Alta, Soluções em Série para Equações Lineares de Segunda Ordem, A Transformada de Laplace, Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem, Métodos Numéricos, Equações Diferenciais Não Lineares e Estabilidade, Equações Diferenciais e Séries de Fourier, Problemas de Valores de Contorno e Teoria de Sturm-Liouville.

Sendo que em cada parte do estudo, surgiriam novos afluentes, onde: Para Equações Diferenciais de Primeira Ordem, teríamos: Equações lineares, método dos fatores integrantes, equações separáveis, modelagem com equações de primeira ordem, diferenças entre equações lineares e não lineares, equações autônomas e dinâmica populacional, equações exatas e fatores integrantes, aproximações numéricas: ométodo de Euler, o teorema de existência e unicidade, e equações de diferenças de primeira ordem.

Para Equações Lineares de Segunda Ordem, teríamos: Equações homogêneas com coeficientes constantes, soluções de equações lineares homogêneas e o wronskiano, raízes complexas da equação característica, raízes repetidas, redução de ordem, equações não homogêneas, métodos dos coeficientes indeterminados, variação dos parâmetros, vibrações mecânicas e elétricas e vibrações forçadas.

Para Equações Lineares de Ordem Mais Alta, teríamos: Teoria geral para equações lineares de ordem n, equações homogêneas com coeficientes constantes, o método dos coeficientes indeterminados e o método de variação dos parâmetros.

Para Soluções em Série para Equações Lineares de Segunda Ordem, teríamos: Revisão de séries de potências, soluções em série perto de um ponto ordinário, equações de Euler, pontos singulares regulares, soluções em série perto de um ponto singular regular e equação de Bessel.

Para Transformada de Laplace, teríamos: Definição de transformada de Laplace, solução de problemas de valores iniciais, funções degrau, equações diferenciais sob a ação de funções descontínuas, funções de impulso e a Convolução.

Para Sistemas de Equações Lineares de Primeira Ordem, teríamos: Revisão de matrizes, sistemas de equações lineares algébricas, independência linear, autovalores, autovetores, teoria básica de sistemas de equações lineares de primeira ordem, sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes, autovalores complexos, matrizes fundamentais, autovalores repetidos e sistemas lineares não homogêneos.

Para Métodos Numéricos, teríamos: O método de Euler ou método da reta tangente, aprimoramentos no método de Euler, o método de Runge-Kutta, métodos de passos múltiplos, mais sobre erros, estabilidade e sistemas de equações de primeira ordem.

Para Equações Diferenciais Não Lineares e Estabilidade, teríamos: O plano de fase: Sistemas lineares; sistemas autônomos e estabilidade, sistemas localmente lineares, espécies em competição, equações predador-presa, o segundo método de Liapunov, soluções periódicas e círculos limites, caos e atratores estranhos: As equações de Lorenz.

Para Equações Diferenciais Parciais e Séries de Fourier, teríamos: Problemas de valores de contorno para fronteiras com dois pontos, séries de Fourier, o teorema da convergência de Fourier, funções pares e ímpares, separação de variáveis, condução de calor em uma barra, outros problemas de condução de calor, a equação de onda: vibrações de uma corda elástica; e a equação de Laplace.

Para Problemas de Valores de Contorno e Teoria de Sturm-Liouville, teríamos: A ocorrência de problema de valores de contorno em fronteiras com dois pontos, problemas de valores de contorno de Sturm- Liouville, problemas de valores de contorno não homogêneos, problemas de Sturm-Liouvillesingulares, observações adicionais sobre o método de separação de variáveis: uma expansão em funções de Bessel; e séries de funções ortogonais: convergência na média.