A Semelhança de Triângulos

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O cronograma consistirá na divisão do período de aula em três encontros semanais com duração de uma hora e quarenta minutos por dia. No primeiro e segundo dias o conteúdo trabalhado será inteiramente teórico, sendo que no primeiro dia uma lista com exercícios relacionada ao assunto será sugerida aos alunos. No último dia de aula semanal, a aula terá como objetivo a resolução de exercícios da lista proposta.

2.3 Métodos de avaliação

Os métodos de avaliação serão divididos em três partes: a primeira será feita de maneira convencional, uma avaliação escrita, condizente com os exercícios propostos em sala, tendo como valor igual a cinquenta por cento da nota final; em relação à segunda parte, será feita uma avaliação prática com régua e compasso, a fim de estimular o lado prático da disciplina, tendo a esta parte um valor de trinta por cento da média final; por fim, como meio de recompensa aos que entregaram as listas semanais sugeridas, uma nota será atribuída com o valor de vinte por cento da média final. Atingindo assim os cem por cento possíveis; a nota necessária para a aprovação será de sessenta por cento de todas as avaliações.

2.4 Plano de aula

Os planos de aula devem seguir a ordenação apresentada na parte dissertativa do presente trabalho, isto é, as primeiras propriedades e definições assumem papel de pré-requisito para o restante do conteúdo.

Como estamos lidando com estudante de Matemática, os alunos precisam de um tempo a mais com a parte de definições, pois estas serão muito usadas no decorrer do curso, logo, podemos atribuir um período de duas semanas para definições e exercícios relacionados; Quando passamos para a fração do conteúdo que compreende a relação entre semelhança e áreas, podemos contar com o conteúdo de áreas já ter sido apresentados aos alunos, logo a fixação tende a ser facilitada, porém um trabalho com relação às aplicações usando esta relação é sugerido; A homotetia apresenta um assunto de fácil absorção por parte dos alunos, logo duas aulas seguidas de exercícios são necessárias para tal conteúdo; Ao passarmos para o conteúdo de semelhança de triângulos uma atenção especial é necessária, pois esse assunto é considerado o de maior o importância dentre as semelhanças, pois compreende os critérios de semelhança, duas semanas são necessárias para a apresentação do conteúdo aos alunos dependendo da resposta apresentada por eles, podendo levar três semanas, uma lista com maior número de exercício será proposta. Outro conteúdo de importância considerável é o Teorema de Thales, tal conteúdo é usado tanto em disciplinas como Desenho Geométrico, quanto na disciplina em questão, portando duas semanas serão necessárias, além disso, uma atividade com régua e compasso é recomendada, além da lista de exercícios.

3. DEFINIÇÃO

Dadas duas figuras, ou seja, dois conjuntos de pontos, F e F’, para que estas figuras estejam em uma relação de semelhança é necessário que:

- Exista uma correspondência 1 a 1 entre os pontos de F e os pontos de F’.

- Exista um número r > 0, tal que, para todos os pares de pontos X,Y F e seus respectivos pontos homólogos X’, Y’ F’, tem-se X’Y’ = rXY.[pic 2][pic 3][pic 4]

Utilizamos a notação FF’ quando essas duas figuras são semelhantes. [pic 5]

3.1 PROPRIEDADES

Teorema: A relação de semelhança é uma relação de equivalência.

Demonstração: Precisamos mostrar que satisfaz às propriedades reflexiva, simétrica e transitiva.

Reflexiva: Seja F um conjunto arbitrário de pontos e a aplicamos a identidade em F, isto é, X F é associado ao próprio X. A identidade é uma correspondência 1 a 1 entre os pontos de F e para qualquer par de pontos X,Y F, XY = 1 XY, logo, a razão de semelhança é 1 e F F.[pic 6][pic 7][pic 8][pic 9]

Simétrica: Seja F semelhante a F’. Temos que provar que F’ também é semelhante a F. Podemos pegar a inversa da aplicação F F’, isto é, F’ F. Então, para cada ponto Y F’, associamos X F, de forma que, Y = (X) = X’. A razão da semelhança de é . Podemos verificar isso facilmente: [pic 10][pic 11][pic 12][pic 13][pic 14][pic 15][pic 16][pic 17][pic 18]

= r [pic 19][pic 20]

[pic 21]

Portanto, F’ F.[pic 22]

Transitiva: Se F é semelhante a F’ e F’ semelhante a F”, então, precisamos provar que F é semelhante a F”. Seja a correspondência 1 a 1 entre F e F’, e seja a correspondência de F’ e F”, então, a correspondência 1 a 1 entre F e F” será a composição das duas, ou seja, para cada ponto X F, associa-se o ponto X” = F”. Seja r o fator de escala de e r’ o fator de , então, a razão de semelhança será r r’.[pic 23][pic 24][pic 25][pic 26][pic 27][pic 28][pic 29]

Teorema: Uma semelhança associa pontos colineares a pontos colineares.

Demonstração: Seja uma semelhança com razão igual a r. Dados quaisquer 3 pontos colineares X, Y e Z em F, tais que XZ = XY + YZ, demonstraremos que seus pontos homólogos em F’ também são colineares. Temos que X’Y’ = r XY e Y’Z’ = r YZ, então:[pic 30][pic 31][pic 32][pic 33]

X’Y’ + Y’Z’ = r (XY + YZ) = rXZ = X’Z’.

Logo os pontos X’, Y’ e Z’, são colineares em F’.

Teorema: Uma semelhança de razão r, transforma:[pic 34]

- Todo segmento de reta contido em F num segmento de reta contido em F’.

- Um círculo de raio a contido em F num círculo de raio r a contido em F’.[pic 35]

- Pontos interiores a F em pontos interiores a F’.

- Pontos do contorno de F em pontos do contorno de F’.

- Vértices de F em vértices de F’ (se F e F’ forem polígonos).

Demonstração:

- Por definição, um segmento é formado pelos pontos X, Y e pelo conjunto dos pontos , colineares com X e Y de modo que XY = XZ + ZY. Pelo teorema anterior,