Método de Cramer e Gauss

...

Iteração #2

Assim: V2 = [-66 ; 90,5 ; -139,833] Calculando a precisão de “Erro”: V1 = [ 12 ; -14 ; 25 ] e V2 = [-66 ; 90,5 ; -139,833] - Calculando a precisão do “Erro”:

|Ex| = [(x novo - x antigo) / (x novo)] x 100 = [(-66 – 12) / (-66)] x 100 = |118,1818| = 118,182%

|Ey| = [(y novo - y antigo) / (y novo)] x 100 = [(90,5 – (-14)) / (90,5)] x 100 = |115,4696| = 115,470%

|Ez| = [(z novo - z antigo) / (z novo)] x 100 = [(-139,83 – 25) / (-139,83)] x 100 = |117,8784| = 117,879%

Máx = ( 118,182% ; 115,470% , 117,879% ) = 118,182% Como os percentuais de erro se encontram altos (máximo), devemos realizar nova iteração utilizando os valores das raízes encontradas na última iteração até que esse valor se aproxime de “zero”:

Iteração #3

Assim: V3 = [ 472,666 ; -635,082 ; 999,804 ] Calculando a precisão de “Erro”: V2 = [ -66 ; 90,5 ; -139,833 ] e V3 = [ 472,666 ; -635,082 ; 999,804 ]

- Calculando a precisão do “Erro”:

|Ex| = [(x novo - x antigo) / (x novo)] x 100 = [(472,666 – (-66)) / (472,666)] x 100 = |113,9633| = 113,963%

|Ey| = [(y novo - y antigo) / (y novo)] x 100 = [(-635,082 – (90,5)) / (-635,082)] x 100 = |114,2501| = 114,250%

|Ez| = [(z novo - z antigo) / (z novo)] x 100 = [(999,804 – (-139,833) / (999,804)] x 100 = |113,9860| = 113,986%

Máx = (113,963% ; 114,250% , 113,986% ) = 114,250% Como os percentuais de erro se encontram altos (máximo), devemos realizar nova iteração utilizando os valores das raízes encontradas na última iteração até que esse valor se aproxime de “zero”:

x = 6 + y – z; ½ x = 6 + (1x(-14)) – (1x25); ½ x = -33 x21 x = -66

y = 8 – 3x – z; 2 y = 8 – 3(-66) – (1x(25)); 2 y = 8 – 36; 2 y = 181/2 y = 90,5

z = -1 – 5x + y; -3 z = -1 – 5(-66) + 90,5; -3 z = 419,5;-3 z = 419,5/-3 z = -139,833

x = 6 + y – z; ½ x = 6 + 1(90,5) – 1(-139,833); ½ x = 236,333 x21 x = 472,666

y = 8 – 3x – z; 2 y = 8 – 3(472,666) – 1(-139,833); 2 y = -1270,165; 2 y = -1270.165/2 y = -635,082

z = -1 – 5x + y; -3 z = -1 – 5(472,666) + 1(-635,082); -3 z = -2999,412;-3 z = 2999,412/3 z = 999,804

Interação

Variável X ᵋx % Variável Y ᵋy % Variável Z ᵋz %

0 0 0 1 12 100,000% -14 100,000% 25 100% 2 -66 118,182% 90,5 115,470% -139,83 117,879% 3 472,66 113,963% -635,08 114,250% 999,80 113,986% 4 -3257,77 114,509% 4390,76 114,464% -6892,88 114,505% 5 22579,29 114,428% -30418,50 114,434% 47771,99 114,429% 6 -156368,99 114,440% 210671,49 114,439% -330838,49 114,440% 7 1083031,96 114,438% -1459124,70 114,438% 2291428,50 114,438% 8 -7501094,40 114,438% 10105931,35 114,438% -15870467,46 114,438% 9 51952809,63 114,438% -69993976,71 114,438% 109919341,95 114,438% 10 -359826625,32 114,438% 484780271,00 114,438% -761304465,53 114,438% 11 2492169485,06 114,438% -3357601990,82 114,438% 5272816472,37 114,438% 12 -17260836914,38 114,438% 23254847139,39 114,438% 5272816472,37 0,000% 13 35964061346,04 147,995% 23254847139,39 0,000% -36519677236,76 114,438%

4) Método Gauss-Jacobi

Equacionando as funções a partir das variáveis específicas (x, y e z) e das constantes do Sistema Linear: x = 6 + y – z; ½ y = 8 – 3x – z; 2 z = -1 – 5x + y; -3

Criando valores fictícios de raízes para as variáveis x, y e z: V0 = [ 0, 0, 0] Realizando a primeira iteração com as raízes fictícias às equações definidas:

Iteração #1

Assim: V1 = (12 ; 4 ; 1/3) Calculando a precisão de “Erro” - Primeiramente, alinhamos os resultados das raízes antigas (fictícios) com os novos resultados de raízes encontrados (última iteração):

V0 = [ 0 ; 0 ; 0 ] e V1 = [ 12 ; 4 ; 1/3 ] - Após, calculamos a precisão do “Erro” utilizando os novos e os antigos valores das raízes:

|Ex| = [(x novo - x antigo) / (x novo)] x 100 = [(12 – 0) / (12)] x 100 = |100,0| = 100,000%

|Ey| = [(y novo - y antigo) / (y novo)] x 100 = [(4 – 0) / (4)] x 100 = |100,0| = 100,000%

|Ez| = [(z novo - z antigo) / (z novo)] x 100 = [(1/3 – 0) / (1/3)] x 100 = |100,0| = 100,000%

- Assim, a prescisão de erro para cada raiz é de: Máx = ( 100% , 100% , 100% ) = 100% Como os percentuais de erro se encontram altos (máximo), devemos realizar nova iteração utilizando os valores das raízes encontradas na última iteração até que esse valor se aproxime de “zero” :

x = 6 + y – z; ½ x = 6 + 1(0) – 1(0); ½ x = 6 x21 x = 12

y = 8 – 3x – z; 2 y = 8 – 3(0) – (1x0); 2 y = 8 ; 2 y = 8/2 y = 4

z = -1 – 5x + y; -3 z = -1 – 5(0) – (0); -3 z = -1;-3 z = 1/3 z = 0,333

Iteração #2

Assim: V2 = [19,333 ; -14,167 ; 19] Calculando a precisão de “Erro”: V1 = [ 12 ; 4 ; 1/3 ] e V2 = [19,333 ; -14,167 ; 19] - Calculando a precisão do “Erro”:

|Ex| = [(x novo - x antigo) / (x novo)] x 100 = [(19,333 – 12) / (19,333)] x 100 = |37,931| = 37,931%

|Ey| = [(y novo - y antigo) / (y novo)] x 100 = [(-14,167 – (4)) / (-14,167)] x 100 = |128,235| = 128,235%

|Ez| = [(z novo - z antigo) / (z novo)] x 100 = [(19 – 1/3) / (19)] x 100 = |98,246| = 98,246%

Máx = (37,931% ; 128,235% , 98,246% ) = 128,235% Como os percentuais de erro se encontram altos (máximo), devemos realizar nova iteração utilizando os valores das raízes encontradas na última iteração até que esse valor se aproxime de “zero”:

Iteração #3

Assim: V3 = [ -54,334 ; -34,5 ; 37,277 ] Calculando a precisão de “Erro”: V2 = [19,333 ; -14,167 ; 19] e V3 = [ -54,334 ; -34,5 ; 37,277 ]

- Calculando a precisão do “Erro”:

|Ex| = [(x novo - x antigo) / (x novo)] x 100 = [(-54,334 – (19,333)) / (-54,334)] x 100 = |135,582| = 135,582%

|Ey| = [(y novo - y antigo) / (y novo)] x 100 =