Hiperbole

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Objetivo

Na matemática, uma hipérbole é um tipo de “seção cônica” definida como interseção entre uma superfície cônica circular regular e um plano que passa por duas metades do cone, sem que este plano seja paralelo à linha oposta ao corte.

O estudo dela foi iniciado por um matemático chamado Apolônio, que desenvolveu um trabalho extremamente respeitado referente as seções cônicas. Ele, por sua vez, analisou, além da hipérbole, a parábola e a elipse, que podem ser feitas através de cortes realizados em cones.

Podemos observar na figura abaixo a representação analítica da hipérbole:

Nesta figura, podemos ver a hipérbole que está representada pelo conjunto de pontos presentes em vermelho. Os pontos que compõem a hipérbole apresentam um atributo em comum. Dados dois pontos, o módulo da diferença das distâncias entre eles e os pontos F_1 e F_2 é sempre igual à distância de 2a entre A_1 e A_2. Sendo P e Q como pontos que pertencem à hipérbole. De forma reduzida, temos:

|¯(〖PF〗_1 )- ¯(〖QF〗_2 )|=2a

Os elementos principais da hipérbole:

Focos F_1 e F_2;

Distância focal: Segmento entre os focos F_1 e F_2. Esta distância vale 2c;

Centro: O;

Eixo real ou transverso: segmento entre A_1 e A_2. O eixo real mede 2a;

Eixo imaginário: segmento entre B_1 e B_2. Sua medida é de 2b;

Vértices da hipérbole: A_1 e A_2;

Excentricidade da hipérbole: Quociente entre c e a (c/a)

Ela também pode ser definida como conjunto de todos os pontos coplanares para os aqueles que a distância entre dois pontos fixos (denominados focos) é constante.

Para uma prova geométrica simples, veja as esferas de Dandelin. Estas esferas de Dandelin toca, mas não cruza, tanto o plano quanto o cone.

Desenvolvimento

Referências Bibliográficas:

http://www.mat.ufmg.br/~regi/gaalt/gaalt0.pdf

http://www.mat.ufmg.br/~espec/monografiasPdf/monografia_eric.pdf

http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/equacao-hiperbole.htm

http://educzulin.blogspot.com.br

http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAOKoAK/conicas

http://alunosonline.uol.com.br/matematica/hiperbole.html

Sterling, M. Algebra Linear II para Leigos. AltaBooks Ed. Rio de Janeiro, 2013

Steinbruch, A.; Winterle, P. Algebra Linear. Pearson Ed.