Espaço vetorial

...

- Para quaisqueru, v ЄW tivermos u + v ЄW.

- Para quaisquer a Є R, u Є W tivermos au Є W.

Podemos fazer três observações:

- As condições da definição acima garantem que ao operarmos em w ( soma e multiplicação por escalar), não obteremos um vetor fora de W. Isto é suficiente para afirmar que W é ele próprio um espaço vetorial, pois assim as operações ficam bem definidas e, além disso, não precisamos verificar as propriedades de (i) a (viii) de espaço vetorial, porque elas são válidas em V, que contém W.

- Qualquer subespaço W e V precisa necessariamente conter o vetor nulo ( por causa da condição (ii) quando a = 0).

- Todo espaço vetorial admite pelo menos dois subespaços ( que são chamados subespaços triviais), o conjunto formado somente pelo vetor nulo ( verifique (i) e (ii)) e o próprio espaço vetorial.

Combinação Linear

É uma das características mais importantes de um espaço vetorial, que é a obtenção de novos vetores a partir de vetores dados.

Dependência e Independência Linear

Em álgebra Linear, é fundamental sabermos se um vetor é uma combinação linear de outros. O espaço gerado por v1, v2, v3 é o mesmo que o espaço gerado por v1 e v2. A razão disso é que v3 é um vetor “supérfluo’ para descrever o subespaço, pois é uma combinação linear de v1 e v2. No caso geral, dados os vetores v1, v2, …… , vn, queremos saber se não existem vetores “supérfluos”, isto é, se algum desses vetores não é uma combinação linear dos outros. Para chegarmos a uma conclusão, precisamos começar definindo dependência e independência linear.