O ESPAÇO VETORIAL

...

[pic 43]

[pic 44][pic 45]

[pic 46]

[pic 47]

Os vetores também são dados por segmentos orientados, com ponto inicial na origem, e existe uma correspondência biunívoca entre vetores e pontos do espaço que a cada vetor [pic 48] associa o seu ponto final P = (a, b, c). O vetor v = [pic 49] costuma ser denotado pelas coordenadas de P. Assim:

V = {(x1, x2, x3); xi ∈ R}

1.4) Operações com Vetores no Espaço

1.4.1) Igualdade – dois vetores u = ( x1, y1, z1) e v = ( x2, y2, z2) são iguais se, e somente se, x1 = x2 , y1 = y2 e z1 = z2.

1.4.2) A soma de dois vetores e o produto de um vetor por um número (escalar) também são definidos da mesma forma que no plano.

Se u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2),

u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e

ku = (k x1, kx2, kx3)

1.4.3) Se A(x1, y1, z1) e B(x2, y2, z2) são dois pontos quaisquer no espaço, então [pic 50] = (x2 – x1, y2 – y1, z2 – z1)

1.4.4) O produto escalar dos vetores u = (x1, y1, z1) e v = ( x2, y2, z2) é o número real u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2

1.4.5) O módulo do vetor v = ( x, y, z) é dado por: [pic 51].

1.4.6) Se u e v são vetores não nulos e θ é o ângulo formado por eles, então: [pic 52]

1.4.7) Para u = ( x1, y1, z1) e v = ( x2, y2, z2), tem-se:

a) u // v se, e somente se, [pic 53];

b) u [pic 54]v se, e somente se, x1x2 + y1y2 + z1 z2 = 0.

c) d(u, v) = [pic 55]

FIXAÇÃO

- Calcule:

- (1, 2, -3) + ( 4, -5)

- –3(4, -5, -6)

- Sejam u = (2, -7, 1), v = (-3, 0, 4), w = (0, 5, -8). Encontre:

2u + 3v – 5w

- Encontre x e y

- (2, -3, 4) = x (1, 1, 1) + y (1, 1, 0) + z (1, 0, 0)

- (-1, 3, 3) = x (1, 1, 0) + y ( 0, 0, -1) + z (0, 1, 1)

- Calcule u . v, onde u = ( 2, -3, 6) e v = ( 8, 2, -3)

- Determine k de modo que os vetores u e v sejam ortogonais, onde u = ( 1, k, -3) e v = ( 2, -5, 4)

- Encontre a distância d(u, v) entre os vetores u e v, onde:

- u = (3, -5, 4) e v = (6, 2, -1)

- Encontre k tal que d(u, v) = 6, onde u = (2, k, 1, -4) e

v = (3, -1, 6, -3)

8) Determine k tal que | u | = [pic 56], onde u = (1, k, -2, 5).