Integração de funções

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∫f(x).g´(x)dx = ∫[f(x). g(x)]´dx - ∫g(x).f´(x) dx

ou ainda,

∫f(x).g´(x)dx = f(x). g(x) - ∫g(x).f´(x) dx

Na prática costumamos fazer:

u = f(x) → du = f´(x) dx e

v= g(x) → dv = g´(x) dx

Substituindo em (1), vêm:

∫u dv = uv - ∫vdu,

Que é a fórmula da integração por partes.

Exemplos:

- ∫ln x dx

Seja u = ln x → du = 1/x dx

dv = dx → v = ∫dx = x

Integrando por partes, vêm

∫ln x dx = ∫u dv = uv - ∫vdu,

(ln x). x - ∫x. 1/x dx

= x lnx - ∫dx

= x lnx – x + c

- ∫y senydy

u= y → du = dy

dv = sen y → v = -cos y

∫y senydy = uv - ∫vdu

= y.(-cosy) - ∫ (-cos y).dy

= - y.cosy + ∫ cosy dy

= - y. cos y + seny + C

c) ∫x cosx dx

Seja u = x , du = dx

dv= cosxdx → v = ∫cosx dx = senx

Integrando por partes, vêm

= ∫x cosx dx = ∫u dv = uv - ∫vdu,

= x. sen x - ∫ senx.dx

= x. senx – (-cosx) + C

= x.senx + cos x + C

d) ∫ x². senx dx =

u= x² → du = 2xdx

dv = senxdx → v = -cosx

Integrando por partes, vêm

= ∫x² senx dx = ∫u dv

= uv - ∫vdu

= x².(-cosx) - ∫(-cosx). 2xdx

= -x² cosx + 2∫x cosxdx

A integral ∫x cosx dx deve também ser resolvida por partes. Fazemos:

u=x → du= dx

dv = cosxdx → v= ∫cosxdx = senx

Temos,

∫x coxdx = x senx - ∫senxdx

Logo,

∫x² senxdx = -x² cosx + 2[ x senx - ∫ senxdx]

= -x²cosx + 2x senx + 2 cosx + C

Exercícios:

- ∫z senzdz =

- ∫y cosydy =

- ∫ex cosx dx =

- ∫x² cosx dx =

- ∫x.secx tgx. dx =