DEFLESÃO EM VIGAS

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Primeira simplificação. Admitindo que o material segue a lei de Hooke, temos ds≈dx

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A inclinação da tangente a linha elástica no ponto m pode ser calculada pela expressão

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Segunda simplificação. Como a viga trabalho no regime elástico e linear a linha elástica é suave. Dessa forma, temos

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Derivando a expressão acima temos:

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Compatibilização do sinal da curvatura com o sinal do momento fletor.

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Momento fletor positivo produz curvatura negativa e vice versa. Dessa forma, para compatibilizar os sinais introduz na equação diferencial o sinal negativo ( ver equação abaixo).

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Essa equação é denominada de equação diferencial da linha elástica, cuja solução é uma função Y=f( X ) que representa a Linha Elástica da Viga

- Exemplos de Aplicação

- Viga com extremidades simplesmente apoiada

Determine a equação da curva de deflexão para uma viga simples AB suportando um

carregamento uniforme de intensidade q atuando por toda a extensão da viga (Figura 8).

Determine também a deflexão máxima δmáx no ponto médio da viga e os ângulos de

rotação θA e θB nos apoios. A viga tem comprimento L e rigidez à flexão EI constante

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- Viga com extremidade em balanço.

Determine a equação da curva de deflexão para uma viga engastada AB submetida a

um carregamento uniforme de intensidade q, Como apresenta a Figura 9.a. Determine

também o ângulo de rotação θB e a deflexão δ B na extremidade livre, Figura 9.b. A

viga tem comprimento L e rigidez constante EI

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- Viga simplesmente apoiada com carga concentrada.

Uma viga simples AB suporta um carregamento concentrado P atuando nas distâncias

a e b dos apoios esquerdo e direito, respectivamente como apresenta a Figura 10.a

Determine as equações da curva de deflexão, os ângulos de rotação θ A eθ B nos apoios, a deflexão máxima δmax e a deflexão δC no ponto médio C da viga (Figura 10.b). A viga tem comprimento L e rigidez a flexão EI constante

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- EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE QUARTA ORDEM.

- Introdução:

A deflexão de vigas pode ser analisada a partir uma equação diferencial de quarta ordem. Por diferenciação sucessiva da equação diferencial de segunda ordem pode-se chegar a equação de quarta ordem cuja solução representa a Linha Elástica da viga.

- Obtenção da Equação.

Diferenciando ambos os lados da equação diferencial de segunda ordem obtém-se:

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Derivando novamente ambos os lados da equação de terceira ordem obtém-se a equação de ordem.

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- Exemplos de aplicação

Determine a equação da curva de deflexão para uma viga engastada AB suportando

um carregamento triangularmente distribuído de máxima intensidade qo (Figura 12).

Determine também a deflexão δB e o ângulo de rotação θB na extremidade. Use a

equação de quarta ordem da curva de deflexão (a equação de carregamento). A viga

tem comprimento L e rigidez de flexão EI constante.

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MÉTODO DOS MOMENTOS ESTÁTICOS DE ÁREAS

- Introdução:

Este processo envolve o diagrama de momentos fletores das vigas. Portanto, é um processo de cálculo de deflexão semi analítico.

- Dedução das Equações:

Na Fig. 01 indicada abaixo se apresenta uma viga simplesmente apoiada, submetida a uma carga distribuída uniformemente até o ponto C e outra concentrada aplicada no ponto D. Por questão didática preferi-se este carregamento.

Na Fig. 02 se mestra o diagrama de momentos fletores correspondente ao carregamento aplicado a viga.

Na Fig. 03 representa a linha elástica da viga.

- Primeiro Teorema dos Momentos Estáticos de áreas

Na Fig. 03 o comprimento do arco ds subtendido pelo ângulo central infinitesimal dθ é dado pela expressão ds=ρdθ. Expressando a curvatura da LE tem-se

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θ = , expressão analítica do primeiro teorema [pic 45]

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A expressão acima pode ser enunciada da seguinte maneira:

“ O ângulo formado pelas tangentes a Linha Elástica em dois pontos quaisquer é igual