Lista Resolvida de Sistemas
Por: Hugo.bassi • 3/4/2018 • 1.438 Palavras (6 Páginas) • 357 Visualizações
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- Os vetores LI da matriz GC, da esquerda para a direita, são:
[pic 21]
Na matriz acima, verifica-se dois vetores LI relacionados com b1, logo o índice de controlabilidade μ1 é igual a 2. Na mesma matriz verifica-se que só existe um vetor b2, logo o índice de controlabilidade μ2 é igual a 1.
μ1 + μ2 = n 2 + 1 = n
O índice de controlabilidade do sistema é igual a:
μc = max(μ1, μ2) = 2
μc = 2
[pic 22]
- A matriz de observabilidade é
[pic 23]
- O índice de observabilidade do sistema, nesse caso, é obtido diretamente através da matriz de observabilidade. O índice será igual ao rank que vale 3. Logo:
μo = 3
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6.8 – Reduce the state equation to a controllable one. Is the reduced equation observable?
[pic 24]
[pic 25]
- Como o rank da matriz de controlabilidade é menor que a ordem da matriz A então o sistema não é controlável.
- Para transformar as matrizes A, B e C na forma controlável, calcula-se a matriz de transformação Q utilizando as primeiras colunas LI da matriz de controlabilidade associada à vetores LI para completer a matriz de ordem n.
[pic 26]
[pic 27]
[pic 28]
[pic 29]
[pic 30]
A forma reduzida de controlabilidade é:
[pic 31]
O sistema reduzido sera observável se a matriz de observabildade possuir rank igual a 1. Como a matriz de observabilidade sera formada apenas pela matriz C, representada nesse sistema por 2, então pode-se dizer que o sistema será observável.
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6.14 – Is the Jordan-form state equation controllable and observable?
[pic 32]
- A matriz A possui 7 autovalores, onde λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 2 e λ5 = λ6 = λ7 = 1
- A matriz A possui 5 blocos de Jordan, sendo três relacionados ao autovalor 2 e dois relacionados ao autovalor 1. A figura a seguir mostra a matriz A com os blocos de Jordan associados aos vetores da matriz B e C para determinar a controlabilidade e observabilidade do sistema.
[pic 33]
- A matriz [pic 34] formada pelos vetores de B associados aos blocos de Jordan do autovalor 2 é:
[pic 35], cujo determinante é [pic 36]. Logo o rank de B1 é 3 e os vetores {B11, B12, B13} são LI.
- A matriz [pic 37] formada pelos vetores de B associados aos blocos de Jordan do autovalor 1 é:
[pic 38] e possui rank igual a 2, sendo os vetores {B21, B22} LI.
- Como todos os vetores de B1 e B2 são LI, o sistema é controlável.
- A matriz [pic 39] formada pelos vetores de C associados aos blocos de Jordan do autovalor 2 é:
[pic 40] e possui rank igual a 2. Logo o conjunto {C1, C2, C3} não é LI e, portanto, o sistema não é observável.
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6.15 – Is it possible to find a set of bij and a set of cij such that the state equation
[pic 41]
- Para verificar a controlabilidade do sistema é necessário que a matriz B1, formada por vetores correspondentes ao autovalor 1 dos blocos de Jordan, possua todos os vetores linearmente independentes (LI). B1 é formado por:
[pic 42]
- Para que o sistema seja controlável, os vetores b1=[b21 b41 b51]T e b2=[ b22 b42 b52]T devem ser LI.
- Para verificar a observabilidade do sistema é necessário que a matriz C1, formada por vetores correspondentes ao autovalor 1 dos blocos de Jordan, possua todos os vetores LI. C1 é formado por:
[pic 43]
-O sistema será observável se os vetores c1=[c11 c21 c31]T, c3=[c13 c23 c33]T e c5=[c15 c25 c35]T forem LI.
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6.16 – Consider the state equation
[pic 44]
It is the modal forma discussed in (4.28). It has one real eigenvalue and two pairs of complex conjugate eigenvalues. It is assumed that they are distinct. Show tha the state equation is controllable if and only if b1 ≠ 0 ; bi1 ≠ 0 or bi2 ≠ 0 for i = 1, 2. It is observable if and only if c1 ≠ 0 ;
ci1 ≠ 0 or ci2 ≠ 0 for i = 1, 2.
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6.18 – Check the controllability and observability of the state equation obtained in problem 2.19. Can you give a physical interpretation directly from the network?
[pic 45]
- O sistema obtido no problema 2.19 foi:
[pic 46]
- Quanto à controlabilidade:
[pic 47]
- Como o rank da matriz de controlabilidade é [pic 48], o sistema é controlável
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- Quanto à observabilidade:
[pic
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