Lógica matemática
Por: Sara • 3/4/2018 • 724 Palavras (3 Páginas) • 284 Visualizações
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Miniprova 4 – 2008.2 - 26/09/2008
1.Determine (justificando) se os seguintes conjuntos são subespaços:
A) [pic 27]
Se A pertence a S1, A = (a,b) a = b² (i)
Se B pertence a S1, B = (x,y) x = y² (ii)
Se k pertence a Z.
De (i) e (ii), obtemos:
a+x = b² +y² (iii)
SOMA: A+B = ( a+x , b+y) a+x = (b+y)² (iv)
De (iii) e (iv):
(b+y)² = b² + y²
2by = 0 (F)
[pic 28]
Como a propriedade da soma não é satisfeita, logo S1 não é subespaço vetorial.
B) [pic 29]
Se A pertence a S2, A = (a,b,c) a+b = c-b (i)
Se B pertence a S2, B = (x,y,z) x+y = z-y (ii)
Se k pertence a Z.
De (i) e (ii), obtemos:
a+b+x+y = c+z-b-y (iii)
SOMA: A+B = ( a+x , b+y, c+z) a+b+x+y = c+z-b-y (iv)
De (iii) e (iv):
[pic 30]
a+b+x+y = c+z-b-y = a+b+x+y = c+z-b-y
0 = 0 (V)
Produto: kA = (ka, kb, kc) ka+kb = kc-kb (v)
De (i) multiplicado por k e (v)
(ka+kb)+(ka+Kb) = (kc-kb)+(kc-kb)
0 = 0(V)
[pic 31]
Logo S2 é subespaço vetorial.
C) [pic 32]
Se A pertence a S3, A = [pic 33] ad-cb = 0 (i)
Se B pertence a S3, B = [pic 34] xw-zy = 0 (ii)
Se k pertence a Z.
De (i) e (ii), obtemos:
ad+xw-cb-zy = 0 (iii)
SOMA: A+B = [pic 35] (a+x)(d+w)-(c+z)(b+y) = 0 (iv)
De (iii) e (iv):
(a+x)(d+w)-(c+z)(b+y) = ad+xw-cb-zy
aw+xd-cy-zb = 0 (F)
[pic 36]
Como a propriedade da soma não é satisfeita, logo S3 não é subespaço vetorial.
D) [pic 37]
Se A pertence a S2, A = ax² + bx + c a+b+c = a-b+c (i)
Se B pertence a S2, B = sx² + tx + u s+t+u= s-t+u (ii)
Se k pertence a Z.
De (i) e (ii), obtemos:
a+b+c+s+t+u = a-b+c+s-t+u (iii)
SOMA: A+B = (a+s)x²+(b+t)x+(c+u) a+b+c+s+t+u = a+s-b-t+c+u (iv)
De (iii) e (iv):
a+s-b-t+c+u = a-b+c+s-t+u [pic 38]
0 = 0 (V)
Produto: kA = kax² + kbx + kc ka+kb+kc = ka-kb+kc (v)
De (i) multiplicado por k e (v)
ka+kb+kc = ka+kb+kc
0 = 0 (V)
[pic 39]
Logo S2 é subespaço vetorial.
2. Encontre um sistema linear homogêneo que define o seguinte subespaço do IR4:
W=[(1,1,–1,0)]+(Eixo OX)+ [pic 40]
[pic 41]
A base do eixo OX é (1,0,0,0)
[pic 42] [pic 43] [pic 44] [pic 45][pic 46][pic 47][pic 48]
x = -3t
y = 4t
z = -2t
w = t
[pic 49]
(x,y,z,w) = (-3,4,-2,1)t
Somando os conjuntos geradores:
[pic 50]
(x,y,z,w) = [(1,0,0,0) , (-3,4,-2,1) , (1,1,–1,0)]
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