A Distribuição Poisson

...

[pic 23]

Portanto, ou [pic 24][pic 25]

A interpretação desses resultados nos dá que λ é o número médio de ocorrências do evento de interesse em um intervalo unitário e o número de ocorrências num intervalo qualquer é proporcional ao comprimento do intervalo. Note que a esperança e a variância são iguais!

MOMENTOS E FUNÇÃO GERADORA DE MOMENTOS

Definição: Seja X uma variável aleatória caracterizada por uma função distribuição de probabilidade f(x). Para k=1,2,3,… seu k-ésimo momento é dados por

[pic 26]

Se a variável for discreta

[pic 27]

No caso de ser contínua

[pic 28]

O k-ésimo momento em torno de [pic 29] é definido como sendo [pic 30], caso este valor esperado exista. Se [pic 31] então ele é chamado de k-ésimo momento central. Observamos que [pic 32], ou seja, a variância [pic 33] é definida como operação entre os dois primeiros momentos.

Definição: Seja [pic 34] uma variável aleatória. A função geradora de momentos da variável [pic 35] é definida como sendo a função

[pic 36]

desde que [pic 37] exista em algum intervalo do tipo [pic 38] para algum número real [pic 39].

A função geradora de momentos possui esse nome pois, a partir dela, podemos encontrar todos os momentos da variável aleatória [pic 40] (quando estes existem).

Seja [pic 41] uma variável aleatória discreta com distribuição de Poisson, com parâmetro [pic 42], ou seja, [pic 43]. Então sua função geradora de momentos é dada por:

[pic 44]

Vamos ver agora outra forma de calcularmos o valor esperado, utilizando a função geradora de momentos, pois [pic 45]. Desta forma temos que:

[pic 46]

e então,

[pic 47]

Da mesma forma, vamos usar a funçaõ geradora de momentos para calcular a variância, pois temos que [pic 48]. Assim,

[pic 49]

E entao,

[pic 50]

Logo,

[pic 51]

Coeficiente de variação

O coeficiente de variação é uma medida de dispersão empregada para estimar a precisão de experimentos e representa o desvio-padrão expresso como porcentagem da média.

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3º Momento: Coeficiente de assimetria

A medida de assimetria indica o grau de distorção da distribuição em relação a uma distribuição simétrica.

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4º Momento: Coeficiente de curtose:

A curtose é uma medida de dispersão que caracteriza o pico ou "achatamento" da curva da função de distribuição de probabilidade

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FUNÇÃO CARACTERÍSTICA (CASO DISCRETO)

Definição: A função característica de uma v.a. discreta X é definida como:

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Definição: A função característica da Poisson (caso discreto) dá-se por:

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[pic 82]

A função característica tem a mesma função do momento, de encontrar as f.d.p. das distribuições das variáveis aleatórias, com a vantagem de sempre existir. Ela caracteriza toda a distribuição.

Exemplos

- Uma central telefônica recebe uma média de 5 chamadas por minuto. Supondo que as chamadas que chegam constituam uma distribuição de Poisson, qual é a probabilidade de a central não receber nenhuma chamada em um minuto? e de receber no máximo 2 chamadas em 2 minutos?

Solução:

Seja X = número de chamadas por minuto. Então, X ∼ Poisson(5). Logo,

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Seja y = número de chamadas em 2 minutos. Então, X ∼ Poisson(5×2). Logo,

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[pic 86]

- Em um certo tipo de fabricação de fita magnética, ocorrem cortes a uma taxa de um corte por 2000 pés. Qual é a probabilidade de que um rolo com comprimento de 4000 pés apresente no máximo dois cortes? Pelo menos dois cortes?

Solução: