Função Quadrática

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Exercícios Propostos

1) Determine, se existirem, os zeros das funções quadráticas abaixo:

a) f(x) = x² - 3x c) f(x) = -x² +2x + 8

b) f(x) = x² +4x + 5 d) –x² +3x – 5

2) Para que valores reais de k a função f(x) = (k - 1)x² - 2x + 4 não admite zeros reais?

3) Os 180 alunos de uma escola estão dispostos de forma retangular, em filas, de tal modo que o número de alunos de cada fila supera em 8 o número de filas. Quantos alunos há em cada fila?

Gráfico da função definida por f(x) = ax² + bx + c

Vamos estudar o efeito dos parâmetros a, b e c na parábola que representa a função quadrática f(x) = ax² + bx + c.

[pic 49]

Parâmetro a: Responsável pela concavidade e abertura da parábola.

[pic 50][pic 51]

Além disso, quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola (parábola mais “fechada”), independentemente da concavidade.

[pic 52][pic 53]

Parâmetro b:

Um ponto ao percorrer a parábola, da esquerda para a direita, ao cruzar o eixo das ordenadas poderá estar subindo ou descendo.

[pic 54]

Se b = 0 o vértice a parábola cruza o eixo y no vértice V, isto é, o vértice V da parábola está no eixo das ordenadas.

[pic 55]

Parâmetro c: Indica o ponto onde a parábola cruza o eixo y.

[pic 56]

A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).

Exemplo: Na função quadrática f(x) = ax² + bx + c da figura abaixo, a 0, c > 0.

[pic 57]

Exercícios Propostos

1) Esboce o gráfico da função f cuja parábola passa pelos pontos (3, -2) e (0, 4) e tem vértice no ponto (2, -4); em seguida, verifique qual das seguintes sentenças corresponde a essa função:

a) f(x) = -2x² - 8x + 4 b) f(x) = 2x² - 8x + 4 c) f(x) = 2x² + 8x +4

2) O gráfico abaixo representa a função f(x) = ax² + bx + c.

[pic 58]

Pode se afirmar que:

a) a 0 e c

b) a

c) a 0 e c > 0

d) a > 0, b

e) a

Imagem da Função Quadrática

A determinação do vértice da parábola ajuda na elaboração do gráfico e permite determinar a imagem da função, bem como seu valor máximo ou mínimo.

As coordenadas do vértice V(x[pic 59], y[pic 60]) da função quadrática f(x) = ax² + bx + c podem ser calculadas de duas maneiras:

1ª Maneira: Utilizando as seguintes fórmulas:

x[pic 61]= [pic 62] e y[pic 63]= [pic 64]

2ª Maneira:

* Para calcular o x[pic 65], obtemos as raízes x[pic 66]e x[pic 67]da equação do 2º grau e calculamos o ponto médio das mesmas. Assim:

x[pic 68]= [pic 69]

* Substituímos o valor do x[pic 70] na função quadrática para que possamos obter a coordenada y[pic 71].

Examine os exemplos:

1º) f(x) = 2x² - 8x

Obtendo as raízes, teremos x[pic 72]= 0 e x[pic 73]= 4. Portanto, x[pic 74]= [pic 75] = [pic 76] = 2

Substituindo x[pic 77]= 2 na função, obtemos a ordenada do vértice:

y[pic 78]= f(x[pic 79]) = 2 (x[pic 80])² - 8(x[pic 81])

y[pic 82] = f(2) = 2 . 2² - 8 . 2 = -8

[pic 83]

[pic 84]

2º) f(x) = -4x² + 4x + 5

Sabemos que o vértice V de uma parábola dada por f(x) = ax² + bx + c, a [pic 85]0, também pode ser calculado assim: V = (x[pic 86], y[pic 87]) = [pic 88], [pic 89].[pic 90]

Neste caso, temos:

f(x) = -4x + 4x + 5

x[pic 91]= [pic 92] = [pic 93]= [pic 94]

y[pic 95]= [pic 96]= [pic 97] = 6

V = (1/2, 6)

[pic 98]

De modo geral, dada a função f: [pic 99] tal que f(x) = ax² + bx + c, com a [pic 100]0, se [pic 101][pic 102]

V (x[pic 103], y[pic 104]) é o vértice da parábola correspondente, temos então:

a > 0 [pic 105] y[pic 106] é o valor mínimo de f [pic 107] Im(f) = {y[pic 108] │y [pic 109] y[pic 110]}[pic 111]

[pic 112]

a [pic 113] y[pic 114] é o valor máximo de f [pic 115] Im(f) = {y[pic 116] │y [pic 117] y[pic 118]}[pic 119]

[pic 120]

Exercícios Propostos

1) Calcule o vértice V de cada parábola definida pelas funções quadráticas abaixo indicando o valor máximo ou o valor mínimo admitido pelas mesmas e determine o conjunto imagem das funções:

a) f(x) = -3x² + 2x b) f(x) = 2x² - 3x – 2 c) f(x) = -4x² + 4x - 1

2) Qual o valor de m para que a função f(x) = (4m + 1)x² - x + 6 admita valor mínimo?

3)